[Zetto]

Si \( ab = 1 \), entonces \( a = b = 1 \) ó \( a = b = −1. \)

Alguna ayuda? Gracias.

[Luis Fuentes]

Hola

Si \( ab = 1, entonces a = b = 1 ó a = b = −1. \)

Alguna ayuda? Gracias.

Para hacer una demostración coherente habría que saber en que contexto te surge el problema y que resultados conocidos sobre la operación producto de enteros puedes usar.

Por ejemplo si \( a>0 \) entonces sabemos que \( a\geq 1 \) y \( b \) positivo, es decir \( b\geq 1 \). Entonces \( 1=ab\geq 1\cdot b\geq 1 \) y así las desigualdades son igualdades y \( a=b=1 \).

Estamos usando de manera decisiva la siguiente propiedad de la multiplicación de enteros. Si \( a\geq b>0 \) y \( c>0 \) entonces \( ac\geq ab \).

Saludos.

[Zetto]

  Entendí algo de lo que has dicho y es cierto. Pero no me sale de donde partir aún.

No se si se entiende mi pregunta. O bien soy muy burro que no veo lo que has dicho.

[Luis Fuentes]

Hola

Entendí algo de lo que has dicho y es cierto. Pero no me sale de donde partir aún.

Cuando entiendas "algo" pero aún te queden dudas, acostúmbrate a especificar que has entendido.

La idea es: supongamos que \( ab=1 \).

- Si \( a=0 \) ó \( b=0 \) entonces \( a\cdot b=0 \). Luego esto no puede darse.

- Si \( a>0 \) entonces \( b>0 \) ya que \( ab=1>0 \). Ahora si \( b>0 \) por ser entero \( b\geq 1 \) y análogamente a\geq 1. Además:

\( a\geq 1,\quad b>0 \quad \Rightarrow{}\quad 1=ab\geq b\geq 1  \)

y por tanto las anteriores desigualdades son igualdades y \( a=b=1 \).

- Si \( a<0 \) puedes razonar análogamente o tener en cuenta que entonces \( a'b'=1 \) con \( a'=-a \) y \( b'=-b \) y \( a'>0 \) y aplicar el caso anterior.

Saludos.