Hola
Buenas
Dada la superficie reglada cuya curva directriz es \( \alpha(u) = (-2cosu,2senu,0) \), y que, para cada u, el vector director de la generatriz pasando por el punto \( \alpha(u) \) es \( B(u) = (2senu,2cosu,3) \)
¿Cómo puedo obtener la ecuación implícita de la superficie?, y de qué superficie se trata. ¿es de revolución?
Muchas gracias
La ecuación paramétrica de la recta que pasa por \( \alpha(u) \) y tiene vector director \( B(u) \) es:
\( (x,y,z)=\alpha(u)+t B(u) \)
Por tanto la ecuación paramétrica de tu superficie es:
\( (x,y,z)=(-2cos(u),2sin(u),0)+(2tsin(u),2tcos(u),3t) \)
Es decir:
\( x=-2cos(u)+2tsin(u) \)
\( y=2sin(u)+2tcos(u) \)
\( z=3t \)
Ahora si haces cuentas observa que:
\( x^2+y^2=4(1+t^2)=4(1+\dfrac{z^2}{9}) \)
De ahí es inmediato concluir que es la superficie de revolución que se obtiene al girar la curva \( x^2=4(1+\dfrac{z^2}{9}) \) alrededor del eje \( OZ. \)
Saludos.
