No entiendo eso de probar que \( C \) es no vacío. Yo tiraría por intentar aplicar el teorema de la función inversa. Lo que preguntas me suena haberlo visto en forma de teorema pero no recuerdo dónde. Al menos, localmente, es una superficie regular por el teorema de la función inversa (ya que es diferenciable) y esto se puede probar fácilmente. Yo intentaría tirar por aquí, con el teorema de la función inversa en mano.
-- Añado
Es que, de hecho, una superficie regular se define como un subconjunto no vacío \( S \subset \mathbb{R}^3 \) si \( \forall p \in S \ \ \exists U \subset \mathbb{R}^2 \), un entorno \( V \) de \( p \) en \( S \) (con la topología relativa de \( S \subset \mathbb{R}^3 \)) y una aplicación \( X : U \to \mathbb{R}^3 \) (\( U \) es abierto) tal que \( X(U) = V \) y \( X:U \to \mathbb{R}^3 \) es diferenciable, \( X : U \to V \) es un homemorfismo y \( \forall q \in U, dX_q : \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}^3 \) es inyectiva.
