Hola
Bienvenido al foro.
Recuerda leer y seguir las
reglas del mismo así como el
tutorial del LaTeX para escribir las fórmulas matemáticas correctamente.
Por esta vez te han corregido las fórmulas y alguna falta de ortografía desde la administración.
Además el objetivo del foro no es hacer los deberes a nadie sino, entre otras cosas, ayudar a que cada cual aprenda a resolver los problemas por si mismo. En ese sentido es bueno que indiques que has intentado en cada problema y que dificultades concretas encuentras.
Por último es deseable abrir un hilo distinto para cada problema, para que no se entremezclen las respuestas y evitar así posibles confusiones.
Te doy algunas indicaciones para tus problemas:
Hola a todos, ando intentando resolver algunos problemas de combinatoria a ver si me pueden ayudar con alguno.
1) Mostrar que si uno arroja un dado \( n \) veces y suma todos los resultados obtenidos, hay \( (6^n)/2 \) formas distintas de obtener una suma par.
Nota que si en al primer dado le das la vuelta y dado que caras opuestas suman siete, la suma de todos los dados pasa de ser par a impar y viceversa. Deduce que hay tantas tiradas con resultado par como impar y concluye.
2) ¿Cuántos enteros entre \( 1 \) y \( 10000 \) tienen exactamente un \( 7 \) y un \( 5 \) entre sus cifras?
Son números de cuatro cifras (entendiendo que por ejemplo el \( 57 \) lo escrbimos como \( 0057 \)). Entonces para elegir en que dos posiciones irán el \( 5 \) y el \( 7 \) tenemos \( \displaystyle\binom{4}{2} \) posibilidades. En las dos posiciones restantes pueden ir cualquiera de las otro ocho cifras. Termina.
3) Si en un torneo de fútbol participan \( 2n \) equipos, probar usando inducción que el número total de opciones posibles para la primera fecha es \( 1\cdot 3\cdot 5\cdot\ldots\cdot (2n-1) \)
Utiliza que si tienes \( 2n \) equipos fijado uno de ellos tienes \( 2n-1 \) opciones para su rival. Después te queda organizar los partidos de los \( 2n-2 \) equipos restantes.
4) En una clase hay \( n \) chicas y \( n \) chicos. Dar el número de maneras de ubicarlos en una fila de tal modo que todas las chicas estén juntas.
Si consideras a las chicas como un todo, primero cuenta las formas de reordenar \( n+1 \) elementos (los chicos más el grupo de chicas). Después por cada una de esas reordenaciones cuenta las formas de reordenar las chicas dentro de su grupo.
5) ¿Cuántas diagonales tiene un polígono regular de \( n \) lados? (usando combinatoria, ya me se la formula de \( n(n-3)/2 \) )
Una diagonal se forma uniendo dos vértices no consecutivos. Cuenta las formas distintas de elegir \( 2 \) vértices entre los \( n \) totales. Descuenta los lados, que son los casos en los que los vértices elegidos son consecutivos.
6) Con 20 socios de un club se desea formar 5 listas electorales (disjuntas). Cada lista consta de 1 presidente 1 tesorero y 2 vocales, ¿de cuántas formas puede hacerse?
Para la primera lista tienes: \( 20 \) opciones para el presidente; \( 19 \) para el tesorero; y \( \displaystyle\binom{18}{2} \) para los vocales:
\( 20\cdot 19\cdot \displaystyle\binom{18}{2} \)
Para la segunda lista tienes: \( 16 \) opciones para el presidente; \( 15 \) para el tesorero; y \( \displaystyle\binom{14}{2} \) para los vocales:
\( 16\cdot 15\cdot \displaystyle\binom{14}{2} \)
etcétera...
Después ten en cuenta que no hay "primera" lista, ni "segunda" es decir da igual el orden en que elijamos las listas. Por tanto tienes que dividir por \( 4! \).
Saludos.
