[Raúl Aparicio Bustillo]

Se suele definir un lugar geométrico como un conjunto de puntos. Pero esto crea un problema, al menos si admitimos que los conjuntos son regulares, pues un punto puede ser entonces representado por un elemento (generalmente una n-pla), o equivalentemente como el conjunto unitario que contiene esa n-pla. Podríamos pensar en conjuntos que no cumplen el axioma de fundación, y así tendríamos total libertad para definir las lineas como conjuntos de puntos, o como uniones o grandes uniones de puntos. Y los planos como conjuntos de rectas, o uniones o grandes uniones de conjuntos de puntos. Pero el problema es que las n-plas tal como se definen, si cumplen el axioma de fundación. El único sistema que conozco que no se mete en estos embrollos, pues no habla de conjuntos, es la axiomática de Hilbert. +

[Raúl Aparicio Bustillo]

Salvo de la Hilbert, no las voy a calificar como erróneas, porque no indican que teoría de conjuntos utilizan. Pero en todas las teorías que conozco, el par (a,b) es distinto del conjunto unitario que lo contiente {(a,b)}. El problema es que un punto no es un elemento de una recta (salvo que admitamos conjuntos no bien fundados, y aún así no lo tengo claro), es una parte (subconjunto de ella), con lo cuál, salvo que trabajemos en una teoría de conjuntos no bien fundada, un punto es un conjunto {(a,b)}, donde y (usamos coordenadas covariantes), es la distancia orientada al eje X y viceversa. Esto se puede extender igualmente a geometrías riemannianas o de cualquier espacio métrico.

[Juan Pablo Sancho]

De esto no sé nada pero ¿no será?:

\(  (a,b) = \{\{a\},\{a,b\}\}  \)

[Raúl Aparicio Bustillo]

Pero si el problema no radica ahí, en algunas teorías de conjuntos, el par ordenado se define así. El problema es que gráficamente (a,b) y  {(a,b)}, están representando lo mismo, y la relación ser "parte de" es una relación transitiva, y \( \in{} \) no lo es, en cambio,\(  \subset{} \), sí. Luego definir el espacio como un conjunto de elementos llamados puntos, no, los puntos, si queremos ser coherentes, deberían ser subconjuntos unitarios del espacio, y no elementos del mismo.