Hola
Hola necesito ayuda con este ejercicio
Un subconjunto \( S \subset{P} \) se llama convexo si \( \forall{A,B \in{S}} \Longrightarrow{ \overline{AB}} \subseteq{S} \) (el segmento AB está contenido en S) Demostrar
a) Todo semiplano es convexo
b) La intersección de una familia de conjuntos convexos en \( P \) es convexo
c) La intersección de semiplanos es convexo
De antemano gracias.
La (a) una vez más (y soy pesado en esto) depende de como te hayan definido semiplano y de las propiedades y axiomas en que te bases.
La (c) es consecuencia de (a) y (b).
Para la (b) si \( \{S_i\}_{i\in I} \) son una familia de convexos, sea \( S=\displaystyle\bigcap_{i\in I}S_i \).
Si \( A,B\in S \) entonces, \( A,B\in S_i \) para todo \( i\in I \). Por tanto por ser cada \( S_i \) convexo, \( \overline{AB}\subset S_i \) para todo \( i\in I \) y así \( \overline{AB}\subset S \).
Saludos.
Bien la definición de semiplano que he visto. Lo he visto como una definición de lados de una recta:
Sea l una recta, \( A \) un punto tal que \( A\not\in{l} \) el semiplano abierto y acotado por \( l \) que contiene \( A \)
\( H_{A,l}= B\in{P} | A,B \) están al mismo lado de \( l \)
He demostrado previamente:
Teorema (propiedad separación de planos) Toda recta determina exactamente dos semiplanos disjuntos
Los axiomas que he visto son los de relación de orden (
B1 Si \( B \) esta entre \( A \) y \( C \) entonces \( A,B \) y \( c \) son tres puntos distintos colineales, es decir, estan en la misma recta y \( B \) esta entre \( C \) y \( A \).
B2 Dados dos puntos distintos \( B \) y \( D \) sea \( l \) la recta \( BD \) Existen puntos \( A,C,E \) tal que \( B \) esta entre \( A \) y \( D \), \( C \) esta entre \( B \) y \( D \), D esta entre \( C \) y \( E \)
B3 Dados 3 puntos distintos colineales entonces uno y solo uno de ellos esta entre los otros dos.
B4 a) Si \( A \) y \( B \) están al mismo lado de la recta \( l \) y \( B \) y \( C \) están al mismo lado de \( l \Longrightarrow{A,C} \) están al mismo lado de l
b) Si \( A \) y \( B \) estan en lados opuestos de \( l \) y \( B \) y \( C \) están en lados opuesto de \( l \Longrightarrow{A , C} \) están al mismo lado de l
Def: lados de una recta
Sea \( l \) una recta, sean \( A\neq{B} \) no en \( l \), \( A \) y \( B \) están al mismo lado de \( l \) si el segmento de recta \( \bar{AB} \) no intersecta \( l \), ningún punto de \( \overline{AB} \) esta en \( l \)
Si AB intercepta a \( l \) entonces diremos que \( A \) y \( B \) están en lados opuestos de \( l \)
Saludos
