[franco_xyz]

Hola! Resolviendo un problema de física que se derivó completamente a una cuestión matemática, nuestro profesor nos dejó como tarea demostrar la siguiente proposición:

Sean \( x, y \) números reales positivos, entonces:

\(
\displaystyle\frac{x}{y} +\displaystyle\frac{y}{x} \geq{2} \)

Logré demostrarlo, pero desearía poder ver otra demostración antes de poner la mía. ¿Cómo demostrarían esa proposición?

[Juan Pablo Sancho]

Pon la tuya primero no seas gamberro.

Tienes \(  t = \dfrac{x}{y}  \) entonces:

\(  \dfrac{x}{y} + \dfrac{y}{x} = t + \dfrac{1}{t} \ \ \ \ \triangle \ \ \  2  \) multiplico por \(  t > 0  \)

\(   t^2 + 1 \ \ \ \triangle \ \ 2 \cdot t  \)

\(  t^2 - 2 \cdot t + 1 \ \triangle  \ \ 0  \) intenta seguir.

[franco_xyz]

perdón ese triángulo significa mayor o igual? creo que es la única posibilidad.
De entrada estas afirmando que la suma entre t y su recíproco es mayor o igual que 2, es la misma proposición del enunciado, creo que no estas demostrando nada, solo partiendo de algo que ya das por hecho, que es justamente lo que se intenta demostrar. Tal vez me equivoque

[Juan Pablo Sancho]

El triangulo es que no sé nada y hago uso  de equivalencia no  de implicaciones,si quiero probar una desigualdad no puedo usar que relación tendrá.

Puedo empezar del último punto para llegar al primero, Sea \(  t = \displaystyle \frac{x}{y}  \)
Editado

\(  t^2 - 2 \cdot t + 1 \color{red} = \color{black}  (t-1)^2 \geq 0  \) sumo \(  2 \cdot t  \) y queda:

\(  t^2 - 2 \cdot t + 1 \color{red} = \color{black} (t-1)^2 \geq 0  \) si y solamente si \(  t^2 +1 = 2 \cdot  t  \) divido por \(  t  >  0  \)

\(  t^2 +1 \color{red} = \color{black} 2 \cdot  t  \) si y solamente si \(  t +\dfrac{1}{t}  = 2   \)

\(  t +\dfrac{1}{t}  \color{red} = \color{black} 2   \) si y solamente si \(  \dfrac{x}{y} +\dfrac{y}{x}  = 2   \)

[franco_xyz]

Bueno de todas formas te dejo lo que hice, que creo q es muy similar a lo que intentas apuntar

Primero \( (x-y)^2\geq{0} \)  que es verdadero para cualquier número real

Desarrollo  \( x^2-2xy+y^2\geq{0} \)

Saco factor común \( -xy \)       entonces       \( -xy(2-\displaystyle\frac{x}{y}-\displaystyle\frac{y}{x})\geq{0} \)

como \( xy\geq{0} \) entonces el factor \( (2-\displaystyle\frac{x}{y}-\displaystyle\frac{y}{x}) \) debe ser negativo (o igual a cero)

entonces \( (2-\displaystyle\frac{x}{y}-\displaystyle\frac{y}{x})\leq{0}
 \)
y acomodando un poco ya queda demostrado que \( \displaystyle\frac{x}{y}+\displaystyle\frac{y}{x}\geq{2} \)

[Juan Pablo Sancho]

Si perfecto un pequeño cambio en tu demostración:

\(  x^2 - 2 \cdot  x \cdot y + y^2 \geq 0  \) divido por \(  x \cdot y  \)

\(  \dfrac{x}{y} - 2  + \dfrac{y}{x} \geq 0  \) sumo \(  2  \)


\(  \dfrac{x}{y}   + \dfrac{y}{x} \geq 2  \)

[franco_xyz]

genial! mucho mas sencillo, no me había dado cuenta de eso, gracias!

[Luis Fuentes]

Hola

 El resultado es también inmediato usando la igualdad aritmético geométrica (que en realidad practicamente prueba Juan Pablo en su demostración):

\( \dfrac{a+b}{2}\geq \sqrt{ab} \)

para \( a=x/y \) e \( b =y/x \).

Saludos.