Si tenemos un plano de Hilbert:
Dada una recta, supongamos que tiene n puntos:
\( A_1 \) ... \( A_n \)
Que supondremos ordenados sin perdida de generalidad, es decir:
\( A_1 * A_2 * A_3 \), \( A_2 * A_3 * A_4 \), ..., \( A_{n-2} * A_{n-1} * A_n \)
Y por los axiomas de "estar entre":
Existe un punto \( C \) con \( A_1 * C * A_2 \) que será distinto a todos los demás, y por lo tanto la recta tiene \( n+1 \) puntos, lo que da una contradicción.
También se podría hacer por inducción en vez de reducción al absurdo, pero a mi esa vía mo me convence, ya que estamos en un sistema de axiomas al margen de ZFC y no tendría mucho sentido usar teoremas de ZFC, a no ser que el sistema axiomatico de hilbert lo hagamos dentro del propio ZFC considerando los elementos geométricos conjuntos y la incidencia como la pertenencia.
Para ver que un plano es infinito bastaría con observar que un plano tiene 3 puntos y por dos de esos puntos pasa una recta con infinitos puntos.
Espero ser entendible. Me habría gustado ser mas formal ya que de hecho este problema lo tenía resuelto pero no lo tengo a mano ahora mismo...
Un saludo.
