[Zetto]

Buenas tardes tengo una duda. Quiero saber si estoy por el camino correcto

El ejercicio dice lo siguiente.

"Demostrar por inducción las siguientes igualdades:"

\( \displaystyle\sum_{i=1}^n{} i^2 = \displaystyle\frac{(n(n+1)(2n+1)}{6}  \) , \( \forall{}n \in{} Naturales \)
Entonces procedí:
Veamos que se cumple para \( n=1 \)
P(1) = \( \displaystyle\sum_{i=1}^1{} i^2 = \displaystyle\frac{1^2(1^2+1)(2(1^2)+1)}{6}=1 \)
Ahora supongamos que vale para \( n=k \)
\( \displaystyle P(k) = \sum_{i=1}^k{} i^2 = \displaystyle\frac{k(k+1)(2k+1)}{6} \)
Entonces si vale para \( P(k) \) \( \longrightarrow{} k+1 \)
\(  \displaystyle P(k+1) = \sum_{i=1}^{k+1} i^2= \displaystyle\frac{k+1(k+1+1)(2k+1+1)}{6} \) PD: Latex no me deja subir el \( k+1 \), supongamos por esta vez que es desde \( 1 \) hasta \( k+1 \)

Entonces \(  P(k+1) = P(k) + (k+1) \) me quedaría:

\(  \displaystyle\frac{k(k+1)(2k+1)}{6}+k+1 \) y esto es lo mismo que = \(  \displaystyle\frac{k(k+1)(2k+1)+6(k+1)}{6} \)

Entonces si voy correctamente hasta acá ("SUPUESTAMENTE") no se me ocurre como llegar a la HIPÓTESIS INDUCTIVA. (P(k))


Hice bien los pasos??

Corregido el superíndice

[Juan Pablo Sancho]

Spoiler

Buenas tardes tengo una duda. Quiero saber si estoy por el camino correcto

El ejercicio dice lo siguiente.

"Demostrar por inducción las siguientes igualdades:"

\( \displaystyle\sum_{i=1}^n{} i^2 = \displaystyle\frac{(n(n+1)(2n+1)}{6}  \) , \( \forall{}n \in{} Naturales \)
Entonces procedí:
Veamos que se cumple para \( n=1 \)
P(1) = \( \displaystyle\sum_{i=1}^1{} i^3 = \displaystyle\frac{1^3(1³+1)(2(1)³+1)}{6}=1 \)
Ahora supongamos que vale para \( n=k \)
\( \displaystyle P(k) = \sum_{i=1}^k{} i^3 = \displaystyle\frac{k(k+1)(2k+1)}{6} \)
Entonces si vale para \( P(k) \) \( \longrightarrow{} k+1 \)
\(  \displaystyle P(k+1) = \sum_{i=1}^{k+1} i^3 = \displaystyle\frac{k+1(k+1+1)(2k+1+1)}{6} \) PD: Latex no me deja subir el \( k+1 \), supongamos por esta vez que es desde \( 1 \) hasta \( k+1 \)

Entonces \(  P(k+1) = P(k) + (k+1) \) me quedaría:

\(  \displaystyle\frac{k(k+1)(2k+1)}{6}+k+1 \) y esto es lo mismo que = \(  \displaystyle\frac{k(k+1)(2k+1)+6(k+1)}{6} \)

Entonces si voy correctamente hasta acá ("SUPUESTAMENTE") no se me ocurre como llegar a la HIPÓTESIS INDUCTIVA. (P(k))


Hice bien los pasos??

Corregido el superíndice

[cerrar]

Revisa por que hay unas cuantas erratas.

[Zetto]

Spoiler

Buenas tardes tengo una duda. Quiero saber si estoy por el camino correcto

El ejercicio dice lo siguiente.

"Demostrar por inducción las siguientes igualdades:"

\( \displaystyle\sum_{i=1}^n{} i^2 = \displaystyle\frac{(n(n+1)(2n+1)}{6}  \) , \( \forall{}n \in{} Naturales \)
Entonces procedí:
Veamos que se cumple para \( n=1 \)
P(1) = \( \displaystyle\sum_{i=1}^1{} i^3 = \displaystyle\frac{1^3(1³+1)(2(1)³+1)}{6}=1 \)
Ahora supongamos que vale para \( n=k \)
\( \displaystyle P(k) = \sum_{i=1}^k{} i^3 = \displaystyle\frac{k(k+1)(2k+1)}{6} \)
Entonces si vale para \( P(k) \) \( \longrightarrow{} k+1 \)
\(  \displaystyle P(k+1) = \sum_{i=1}^{k+1} i^3 = \displaystyle\frac{k+1(k+1+1)(2k+1+1)}{6} \) PD: Latex no me deja subir el \( k+1 \), supongamos por esta vez que es desde \( 1 \) hasta \( k+1 \)

Entonces \(  P(k+1) = P(k) + (k+1) \) me quedaría:

\(  \displaystyle\frac{k(k+1)(2k+1)}{6}+k+1 \) y esto es lo mismo que = \(  \displaystyle\frac{k(k+1)(2k+1)+6(k+1)}{6} \)

Entonces si voy correctamente hasta acá ("SUPUESTAMENTE") no se me ocurre como llegar a la HIPÓTESIS INDUCTIVA. (P(k))


Hice bien los pasos??

Corregido el superíndice

[cerrar]

Revisa por que hay unas cuantas erratas.

¿Dónde? no me doy cuenta 

[Samir M.]

Spoiler

Buenas tardes tengo una duda. Quiero saber si estoy por el camino correcto

El ejercicio dice lo siguiente.

"Demostrar por inducción las siguientes igualdades:"

\( \displaystyle\sum_{i=1}^n{} i^2 = \displaystyle\frac{(n(n+1)(2n+1)}{6}  \)
Entonces procedí:
Veamos que se cumple para \( n=1 \)
P(1) = \( \displaystyle\sum_{i=1}^1{} i^3 = \displaystyle\frac{1^3(1³+1)(2(1)³+1)}{6}=1 \)
Ahora supongamos que vale para \( n=k \)
\( \displaystyle P(k) = \sum_{i=1}^k{} i^3 = \displaystyle\frac{k(k+1)(2k+1)}{6} \)
Entonces si vale para \( P(k) \) \( \longrightarrow{} k+1 \)
\(  \displaystyle P(k+1) = \sum_{i=1}^{k+1} i^3 = \displaystyle\frac{k+1(k+1+1)(2k+1+1)}{6} \) PD: Latex no me deja subir el \( k+1 \), supongamos por esta vez que es desde \( 1 \) hasta \( k+1 \)

Entonces \(  P(k+1) = P(k) + (k+1) \) me quedaría:

\(  \displaystyle\frac{k(k+1)(2k+1)}{6}+k+1 \) y esto es lo mismo que = \(  \displaystyle\frac{k(k+1)(2k+1)+6(k+1)}{6} \)

Entonces si voy correctamente hasta acá ("SUPUESTAMENTE") no se me ocurre como llegar a la HIPÓTESIS INDUCTIVA. (P(k))


Hice bien los pasos??

Corregido el superíndice

[cerrar]

Tienes varias erratas, sugiero que corrijas tu post por si son efectivamente erratas. En cuanto a tu problema, nota que donde dices\( P(k+1) = P(k) + (k+1) \) debería \( P(k+1) = P(k) + (k+1)^2 \) (te falta el cuadrado). Supongo que esto no es una errata y por eso te has atacado.

Pd: Te me adelantaste Juan

[Juan Pablo Sancho]

No es:

\( \displaystyle \dfrac{k \cdot (k+1) \cdot (2k+1)}{6} + (k+1)  \) lo que debería poner es:

\( \displaystyle \dfrac{k \cdot (k+1) \cdot (2k+1)}{6} + (k+1)^2  \)


No es:

\(  \sum_{i=1}^k i^3 = \dfrac{k \cdot (k+1) \cdot (2k+1)}{6}  \)

Debería ser:

\(  \sum_{i=1}^k i^2 = \dfrac{k \cdot (k+1) \cdot (2k+1)}{6}  \)

Samir se teletransportó antes  .

[Zetto]

Spoiler

No es:

\( \displaystyle \dfrac{(k \cdot (k+1) \cdot (2k+1)}{6} + (k+1)  \) lo que debería poner es:

\( \displaystyle \dfrac{(k \cdot (k+1) \cdot (2k+1)}{6} + (k+1)^2  \)


No es:

\(  \sum_{i=1}^k i^3 = \dfrac{k \cdot (k+1) \cdot (2k+1)}{6}  \)

Debería ser:

\(  \sum_{i=1}^k i^2 = \dfrac{k \cdot (k+1) \cdot (2k+1)}{6}  \)

Samir se teletransporto antes.

[cerrar]

Discúlpame, en breve corrijo. Por qué \(  (k+1)^2  \) ?

[Juan Pablo Sancho]

\(  \sum_{i=1}^n i^2 = 1^2+2^2 + 3^2 + \cdots + n^2  \)

\(  \sum_{i=1}^{n+1}  i^2 = 1^2+2^2 + 3^2 + \cdots + n^2  + (n+1)^2 = \sum_{i=1}^n i^2 + (n+1)^2  \)

[Zetto]

Spoiler

\(  \sum_{i=1}^n i^2 = 1^2+2^2 + 3^2 + \cdots + n^2  \)

\(  \sum_{i=1}^{n+1}  i^2 = 1^2+2^2 + 3^2 + \cdots + n^2  + (n+1)^2 = \sum_{i=1}^n i^2 + (n+1)^2  \)

[cerrar]

¡Ahora sí lo veo! Gracias con esto si puedo continuar. 
 Si posteo la solución me dicen si es correcta? en este mismo thread.

[Juan Pablo Sancho]

Hombre claro, en otro hilo no será  .

[Zetto]

Hombre claro, en otro hilo no será  .

Al final no pude llegar, es bastante largo y me encierro. Alguna ayuda de como operar después de esto?


\( \displaystyle\frac{k(k+1)(2k+1)+6(k+1)^2}{6} \)

Me gustaría llegar a S(K+1) pero intenté muchas formas y aun no puedo. Alguna idea. Gracias.