Hola
En el siguiente link http://math.stackexchange.com/questions/695577/sum-of-two-polyhedra-is-a-polyhedron
se demuestra que la suma de dos poliedros es un poliedro pero hay algo que no entiendo.
Se define \( M=\left\{(x,y,z): Ax\geq b, Dy\geq c, z=x+y\right\} \) y acá no lo dicen pero usan que \( M \) es un poliedro. ¿Por qué?
Lo que yo veo es que \( \color{red}M=\left\{x:Ax\geq b\right\}\times \left\{y:Dy\geq c\right\}\times \left\{z:z=x+y\right\}\color{black} \). Tenemos que los dos primeros son poliedros y me faltaría ver que \( \left\{z:z=x+y\right\} \) es un poliedro para así concluir que M es un poliedro por ser producto cartesiano de poliedros. ¿ O no?
Lo que he marcado en rojo no está bien. El tercer conjunto no está bien definido porque los valores de \( z \) depende de \( x \) e \( y \) y a su vez estos valores de \( x,y \) no son cualesquiera sino que cumplen las desigualdades anteriores. Entonces no puedes experesar \( M \) como el producto cartesiano de tres conjuntos.
En realidad tienes:
\( M=\left\{(x,y,z)\in R^3\times R^3\times R^3|Ax\geq b,Dy\geq C,E\begin{pmatrix}{x}\\{y}\\{z}\\\end{pmatrix}\geq \begin{pmatrix}{0}\\{0}\\{0}\\\end{pmatrix}\right\} \)
donde \( E \) es la matriz por bloques:
\( E=\begin{bmatrix}{Id}&{Id}&{-Id}\\{-Id}&{-Id}&{Id}\\\end{bmatrix} \)
siendo \( Id \) la matriz identidad \( n\times n \).
Entonces en realidad M es intersección de tres poliedros, los definidos por las condiciones:
\( Ax\geq b \)
\( Dy\geq C \)
\( E\begin{pmatrix}{x}\\{y}\\{z}\\\end{pmatrix}\geq \begin{pmatrix}{0}\\{0}\\{0}\\\end{pmatrix} \)
y por tanto un poliedero.
Saludos.
