[Raúl Aparicio Bustillo]

Supongo que Euclides con sus axiomas y definiciones se quedó falto con sus leyes para formulas la geometría. Pero, ¿en qué se quedó falto? ¿Son necesarios los 21 axiomas de Hilbert? Me sorprende también que Descartes, que creo la geometría analítica, no formulase unos postulados en esta medida. ¿No sería más lógico considerar el concepto primitivo de punto como el de par ordenado, y partir de ahí para elaborar la geometría?

[Samuelgc]

Euclides 5 axiomas y un monton de fallos, de hecho en sus primeras proposiciones ya empieza cometiendo fallos. Hilbert hizo esos axiomas para arreglar los problemas que surgían en la geometría de euclides, de un curso de geometría axiomatica apunte gran parte de esos errores ya que teníamos que corregirlos, si quieres te lo miro cuando pueda, pero ya te digo que hay muchisimos.

Por otra parte, ver la geometria con el concepto de punto = par ordenado es un modo muy poco general, además de que te faltaría definir recta, angulo, incidencia, estar entre, congruencia de segmentos y de ángulos.

Lo que si te puede satisfacer es que existe el llamado "modelo del plano cartesiano" que es un modelo que cumple ciertos axiomas de Hilbert y parte de la base de un cuerpo K y toma por puntos pares ordenados, y define también las otras nociones primitivas.

Lo bueno de tener el sistema axiomatico es que puedes aplicar los teoremas de este sistema a cualquier modelo del sistema (por eso decía que de tu modo la geometría era poco general)

[argentinator]

Los Axiomas del plano eucliadiano, por ejemplo, permiten edificar un sistema de coordenadas sobre el plano, que permite describir un punto mediante un par ordenado de números reales.

Esencialmente, no hay muchos otros modelos de la geometría euclidiana plana que el espacio vectorial \(\mathbb R^2\).

Los axiomas que conducen a \(\mathbb R\) y los axiomas de espacio vectorial, que permiten hablar de \(\mathbb R^2\), me parecen más claros que los axiomas de Hilbert, a la hora de describir la geometría euclidiana. Tienen su importancia histórica, porque  Hilbert formalizó correctamente por primera vez esa rama tan importante de la matemática. Pero los axiomas algebraicos de cuerpo y espacio vectorial me parecen más simples, y llevan al mismo resultado.

[Raúl Aparicio Bustillo]

Los Axiomas del plano eucliadiano, por ejemplo, permiten edificar un sistema de coordenadas sobre el plano, que permite describir un punto mediante un par ordenado de números reales.

Esencialmente, no hay muchos otros modelos de la geometría euclidiana plana que el espacio vectorial \(\mathbb R^2\).

Los axiomas que conducen a \(\mathbb R\) y los axiomas de espacio vectorial, que permiten hablar de \(\mathbb R^2\), me parecen más claros que los axiomas de Hilbert, a la hora de describir la geometría euclidiana. Tienen su importancia histórica, porque  Hilbert formalizó correctamente por primera vez esa rama tan importante de la matemática. Pero los axiomas algebraicos de cuerpo y espacio vectorial me parecen más simples, y llevan al mismo resultado.

¿Qué entiendes exactamente por espacios vectoriales

[argentinator]

Los Axiomas del plano eucliadiano, por ejemplo, permiten edificar un sistema de coordenadas sobre el plano, que permite describir un punto mediante un par ordenado de números reales.

Esencialmente, no hay muchos otros modelos de la geometría euclidiana plana que el espacio vectorial \(\mathbb R^2\).

Los axiomas que conducen a \(\mathbb R\) y los axiomas de espacio vectorial, que permiten hablar de \(\mathbb R^2\), me parecen más claros que los axiomas de Hilbert, a la hora de describir la geometría euclidiana. Tienen su importancia histórica, porque  Hilbert formalizó correctamente por primera vez esa rama tan importante de la matemática. Pero los axiomas algebraicos de cuerpo y espacio vectorial me parecen más simples, y llevan al mismo resultado.

¿Qué entiendes exactamente por espacios vectoriales

Lo mismo que dicen todos los libros de Álgebra Lineal.