[Venom]

Hola a todos, tengo una duda que no me deja dormir.

Leí la siguiente regla para resolver inecuaciones:
Si \( a > 0  \) y \(  b > 0  \), se cumple: si \(   a < b  \) entonces \(  a^2 <  b ^2  \)

Luego por ejemplo tengo el siguiente ejercicio: \(  \sqrt{x^2 - x} \leq 1  \)

Entonces veo en un video que se resuelve elevando ambos miembros al cuadrado.
Yo me pregunto ¿Cómo puedo estar seguro que el miembro de la izquierda  \( \sqrt{x^2 - x}  \) es mayor que cero para aplicar la regla de elevar ambos miembros al cuadrado?

ya que, por ejemplo, una regla como: \(  a > b \Rightarrow   a \cdot c > b \cdot c  \)  con \(  c >0  \) tiene lógica, es fácil de ver, multiplico ambos miembros por la misma cifra.
Pero si \(  a > b  \) entonces \(  a \cdot a > b \cdot b  \) (o sea \(  a^2 > b^2  \)) no tiene tanto sentido porque un miembro lo multiplico por "\(  a  \)" y al otro por "\(  b  \)"

Espero haber sido claro, y cualquier aporte para esclarecer mi duda bienvenido sea.
Desde ya, muchas gracias.

Venom 

Corregido por moderador
   

[Juan Pablo Sancho]

Bienvenido al foro Venom.

Debes hacer uso del \(  \LaTeX  \) mira las reglas .

La verdad es que es:

\(  a,b \in \mathbb{R}^+  \) entonces \(  a<b  \) si y sólo si \(  a^2 < b^2  \)


Toma:

\(  a < b  \) multiplico por \(  a  \)  y queda \(  a^2 < a \cdot b  \)

\(  a < b  \) multiplico por \(  b  \) y queda  \(  a \cdot b < b^2  \)

De lo anterior intenta ver que \(  a^2 < b^2  \)

Otra forma es \(   a < b  \)  entonces \(  0 < b-a  \) multiplico por \(  (b+a)  \) y queda \(  0 < (b-a) \cdot (b+a)  \) intenta seguir.

Editado, gracias por la mirada Venom

La función \(  \sqrt{x^2-x}  \) está definida en \(  \mathbb{R} \setminus ]\color{red} 0 \color{black},1[  \) y devuelve valores positivos.

[Venom]

Muchas gracias por la respuesta, ahora entendí lo fundamental.
Con respecto a tu última línea: "La función...está definida en R∖]−1,1[ y devuelve valores positivos."

A mi me da que esta definida en R∖]0,1[   
O sea, en los reales menos ese intervalo abierto. Hallo las raices que son 0 y 1, y en ese invervalo veo que el radicando es negativo por lo que no existe en R. Es correcto esto?

[Juan Pablo Sancho]

Tienes razón Venom es como indicas.

[Venom]

Una última duda que me carcome, el ejercicio: Representar en la recta real el conjunto de los x \( \in{} \) R que verifican: \( \sqrt[]{x^2-x} \leq{}1 \)

Elevo al cuadrado ambos miembros, y llego a:
\( x^2-x-1 \leq{0} \) aquí aplicando Teorema de Bascara hallo que las raices de \( x^2-x-1 = 0 \) son \( (1\pm{}\sqrt[ ]{5})/2 \)

O sea aproximadamente: -0.62 y 1.62, y la solución sería el intervalo: \( [(1+\sqrt[ ]{5})/2,(1-\sqrt[ ]{5})/2] \)
He visto videos en youtube, que aquí dan por finalizado el ejercicio.

Pero habíamos dicho que la función inicial: \( \sqrt[]{x^2-x} \) sólo existe para el intervalo  R∖]−1,1[

O sea que, estimo, que la solución al problema es la intersección entre el conjunto solución y la existencia. Es decir la intersección entre los conjuntos:\( [(1+\sqrt[ ]{5})/2,1-\sqrt[ ]{5})/2] \)  y R∖]−1,1[

Y de ser así, en todos los ejercicios con radicales, y trabajando sobre los Reales, debo hacer por un lado la existencia y por otro hallar la solución y luego buscar el conjunto intersección.

Espero vuestros comentarios.
Saludos, Venom.

[Juan Pablo Sancho]

Si en este caso si es la intersección pero esto es un problema clásico al elevar al cuadrado siempre debes verificar las soluciones uno fácil para que lo veas:

\(  x = 1  \) elevo al cuadrado y queda \(  x^2 = 1  \) si intentas solucionar te saldrá \(  x = 1   \) y \(  x = -1  \).

Cuando en un principio \(   x=  -1  \) no era solución, debes verificar las soluciones si elevas al cuadrado y te quedas con las que cumplen lo pedido. 

[Venom]

Quedo claro.
Muchas gracias por las respuestas y la prontitud de las mismas.

Saludos, Venom.