[fredyi]

Tengo este limite indeterminado
 \( \lim _{x\to \:0}\left(1+\frac{1}{x}\right)^{\frac{-1}{x}} \)

El primer problema es que substituyendo a X por 0 me da la forma indeterminanda \( \infty^\infty \) y en el cuaderno no tengo esa forma indeterminada pero bueno, la tome como si fuera \( \infty^0 \) ; \( 1^\infty \) ; \( 0^0 \)

La otra es que segun el libro da 0 y le he hecho de todo pero no me da? Como se haria?

[filomates]

Tengo este limite indeterminado
 \( \lim _{x\to \:0}\left(1+\frac{1}{x}\right)^{\frac{-1}{x}} \)

El primer problema es que substituyendo a X por 0 me da la forma indeterminanda \( \infty^\infty \) y en el cuaderno no tengo esa forma indeterminada pero bueno, la tome como si fuera \( \infty^0 \) ; \( 1^\infty \) ; \( 0^0 \)

La otra es que segun el libro da 0 y le he hecho de todo pero no me da? Como se haria?

Intuitivamente, si x es un numero muy próximo a cero, digamos \( 10^{-10} \)  tendríamos que \( 1+\displaystyle\frac{1}{x} \) es un número muy grande ( \( 1+10^{10} \) ) elevado a \( -10^{10} \) (es decir elevado al opuesto de  un número muy grande ).
Aplicando la definición de potencia de exponente negativo, sería \( \displaystyle\frac{1}{(1+10^{10})^{10^{10}}} \) y eso es muy pequeño y va siendo cada vez más pequeño cuando x va haciéndose más pequeño.
Para formalizar el resultado se puede usar que la sucesión que estás estudiando está comprendida entre cero y \( \displaystyle\frac{1}{2^n} \) siendo n la parte entera de \( \displaystyle\frac{1}{x} \).
Espero que estas indicaciones te resulten útiles

[delmar]

Hola,

Que te parece, ponerlo en forma exponencial :

\( e^{\displaystyle\frac{- ln (1+\displaystyle\frac{1}{x})}{x}} \)

Simplificando :

\( e^{\displaystyle\frac{-ln(\displaystyle\frac{x+1}{x})}{x} } \)

Esto lo puedes poner :

\( e^{\displaystyle\frac{-(ln (x+1) - ln (x))}{x}} \)

La función exponencial es continua, de esta forma se tiene :

\( \displaystyle\lim_{x \to{}0}{(x +\displaystyle\frac{1}{x})^{\displaystyle\frac{-1}{x}}}= e^{\displaystyle\lim_{x \to{}0}{\displaystyle\frac{-(ln (x+1) - ln (x))}{x}}} \)

Pero,

\( \displaystyle\frac{-(ln (x+1) - ln (x))}{x}=\displaystyle\frac{- ln(x+1)}{x}+\displaystyle\frac{ln (x)}{x} \)

Evaluando ambos límites se tiene :

Por H'ospital
\( \displaystyle\lim_{x \to{}0}{\displaystyle\frac{- ln(x+1)}{x}}=-1 \)

\( \displaystyle\lim_{x \to{}0}{\displaystyle\frac{ln (x)}{x}=-\infty} \)

Por lo tanto :

\( \displaystyle\lim_{x \to{}0}{\displaystyle\frac{-(ln(x+1)-ln(x))}{x}= -\infty} \)

Y bueno entonces se tiene :

\( \displaystyle\lim_{x \to{}0}{(1 + \displaystyle\frac{1}{x})^{\displaystyle\frac{-1}{x}}}= 0 \)

Saludos


Nota : Edite la última fórmula, mis disculpas.

[energy]

Ese límite realmente no existe, ya que por la derecha si existe pero por la izquierda no existe, ya que el logaritmo solo está definido para x>0.

Si fuera el límite por la derecha:

Tampoco has justificado que se pueda utilizar L Hopital en el segundo límite ya que es un caso -infinito/0, un posible camino:

\( \displaystyle\lim_{x \to 0^+}{\displaystyle\frac{log (x)}{x}}=\displaystyle\lim_{x \to{+}\infty}{\displaystyle\frac{log(1/x)}{1/x}}=\displaystyle\lim_{x \to{+}\infty}{\displaystyle\frac{-logx}{1/x}}=\displaystyle\lim_{x \to{+}\infty}{-xlogx}=-\infty \)

[delmar]

Ese límite realmente no existe, ya que por la derecha si existe pero por la izquierda no existe, ya que el logaritmo solo está definido para x>0.

Si fuera el límite por la derecha:

Tampoco has justificado que se pueda utilizar L Hopital en el segundo límite ya que es un caso -infinito/0, un posible camino:

\( \displaystyle\lim_{x \to 0^+}{\displaystyle\frac{log (x)}{x}}=\displaystyle\lim_{x \to{+}\infty}{\displaystyle\frac{log(1/x)}{1/x}}=\displaystyle\lim_{x \to{+}\infty}{\displaystyle\frac{-logx}{1/x}}=\displaystyle\lim_{x \to{+}\infty}{-xlogx}=-\infty \)

Hola,
¿Que límite no existe?


Hago notar que en este límite :

\( \displaystyle\lim_{x \to{}0}{\displaystyle\frac{ln(x)}{x}}=-\infty \)

No utilizo H'ospital.No lo he detallado, por que es evidente.

[energy]

Que que limite no existe, también podría decir que es evidente  pues \( \displaystyle\lim_{x \rightarrow{0}}{\displaystyle\frac{1}{x}} \) no existe basicamente y con eso podrías decir perfectamente que el primer límite no existe. Pero es más el límite cuando la \( x\rightarrow{0} \) del logaritmo no existe, solo existe por la derecha, porque la función logaritmo está definida solo para x>0 y para que un límite exista no puede depender de como me acerque a la función, y si no dejo acercarme a la función por definición no tendría sentido hablar de límite no? ya que es como me acerque por cualquier trayectoria. O si no intenta acercarte por la sucesión:
\(
-1/n \) tiende a \( 0 \), pero a donde tiende \( f(-1/n) \) cuando \( f=log (x) \). Intenta ver cuanto vale eso, o no tiene sentido.

Bueno eso de que lo veas trivial no me sirve a mi ni a ningún profesor creo, ya que la función de arriba no está definida en 0, y cualquier número entre 0 no está definido. Si lo está el límite.

[delmar]

Gracias energy, ya entendí. Te refieres a este límite:

\( \displaystyle\lim_{x \to{}0}{\displaystyle\frac{ln (x)}{x}=-\infty} \)

No utilize h'ospital, más bien lo descompuse en :

\( \displaystyle\lim_{x \to{}0}{ln (x)} \)

y

\( \displaystyle\lim_{x \to{}0}{\displaystyle\frac{1}{x}} \)

Como bien has dicho, por estar definido el ln sólo para x>0, el único límite que existe es por la derecha.

El segundo límite, tampoco existe, por la derecha tiende a + infinito y por la izquierda a - infinito.

Por lo tanto lo único que se puede poner es :

\( \displaystyle\lim_{x \to{0}+}{\displaystyle\frac{ln (x)}{x}=-\infty} \)

Estas cosas suceden, cuando se hacen varias cosas a la vez, mil disculpas y gracias.

[energy]

También se puede ver así disculpa no lo vi jejeje