Por eso usé la expresión "aplicar la fórmula"
Las fórmulas están vivas, tienen significado, no caen del cielo, y son deducidas!
Está bien que notes eso, y que lo hagas notar.
Sobre la primera: sabes que la longitud de una circunferencia es \( L=2\pi r \). También sabes que una vuelta entera, 360º, se expresa en radianes como \( 2\pi \). Entonces por una sencilla regla de tres, para un arco de circunferencia será \( L=\alpha r \), donde \( \alpha \) es el ángulo en radianes.
En tu caso querías calcular el arco de la circunferencia que te daban en grados.
Así que conviertes de grados a radianes... \( 110º=110\cancel{º}\times \dfrac{2\pi\text{ rad}}{360\cancel{º}}=110\dfrac{2\pi}{360}\text{rad} \)
...y luego aplicas la fórmula que acabamos de deducir que calcula la longitud de un arco... \( L=\alpha r \)
...tienes la fórmula final que tú estás aplicando: \( L=\dfrac{2\pi \alpha r}{360} \)
Fíjate como he convertido de grados a radianes. Ese truco vale para convertir de metros a kilómetros, de minutos a segundos, de lo que sea en lo que sea. Se trata de "cancelar" dividiendo lo que no quieres y de poner en el numerador, arriba, lo que quieres. Pongo otro ejemplo:
Quiero pasar 5 minutos a segundos.
\( 5 min=5 min \times \dfrac{60 seg}{1 min}=5 \cancel{min} \times \dfrac{60 seg}{1 \cancel{min}}=300 seg \)
Otro ejemplo: quiero pasar 20 metros por segundo (m/s) a kilómetros por hora (km/h).
\( 20 \frac{m}{s}=20\dfrac{m}{s}\times\dfrac{1 km}{1000 m}\dfrac{60 min}{1h}\dfrac{60 s}{1 min}=20\frac{\cancel{m}}{\cancel{s}}\times\dfrac{1 km}{1000 \cancel{m}}\dfrac{60 \cancel{min}}{1 h}\dfrac{60 \cancel{s}}{1 \cancel{min}} \)
¿Lo entiendes? Si es así, te parecerá evidente el por qué de tu segunda fórmula de la velocidad angular
