Hola.
Tienes que:
\( f(0)=0\displaystyle\frac{sen(0)}{cos(0)}=0\displaystyle\frac{0}{1}=0<\displaystyle\frac{1}{2} \)
Además:
\( f(\displaystyle\frac{\pi}{4})=\displaystyle\frac{\pi}{4}\displaystyle\frac{sen(\displaystyle\frac{\pi}{4})}{cos(\displaystyle\frac{\pi}{4})}=\displaystyle\frac{\pi}{4}1=\displaystyle\frac{\pi}{4}>\displaystyle\frac{1}{2} \)
Como \( cos(x)\neq{}0 \) para todo \( x \) en el intervalo \( (0,\displaystyle\frac{\pi}{4}) \), se tiene que \( f(x) \) continua.
Entonces, tenemos \( f(x) \) continua, \( f(0)=0 \), \( f(\displaystyle\frac{\pi}{4})=\displaystyle\frac{\pi}{4} \), por tanto, existe un \( x \) tal que \( f(x)=\displaystyle\frac{1}{2} \).
Veamos si es único. Hay varias maneras. La más fácil que se me ocurre es comprobar que la función es estrictamente creciente:
Derivemos.
\( f'(x)=tan(x)+x\displaystyle\frac{cos(x)cos(x)+sen(x)sen(x)}{sen^2(x)}=tan(x)+\displaystyle\frac{x}{cos^2(x)} \)
La \( tan(x) \) es positiva en \( (0,\displaystyle\frac{\pi}{4}) \), \( x \) es positivo en \( (0,+\infty) \), \( cos^2(x) \) siempre positivo, además todos son distintos de 0, luego la derivada es estrictamente positiva en el intervalo \( (0,\displaystyle\frac{\pi}{4}) \) y por tanto estrictamente creciente. Luego sólo toma el valor \( \displaystyle\frac{1}{2} \) una vez.
Saludos.
