[cristhiam]

Hola de nuevo.

Calcular las asintotas de las siguientes funciones:

a. \( f(x)=\displaystyle\frac{3x-1}{4-x} \)

b. \( f(x)=\displaystyle\frac{2}{x^2 -x -2} \)

c. \( f(x)=\displaystyle\frac{x^2}{x-1} \)

d \( f(x)=\displaystyle\frac{4}{x^2 -1} \)

he intentado:

para a.

a. \( f(x)=\displaystyle\frac{3x-1}{4-x} \)

Asintota Vertical:
\( 4-x=0 --> x=4 \)

Asintota Horizontal (aqui se que existen 3 casos dependiendo del grado de cada polinomio del cociente)

\( f(x)=\displaystyle\frac{3x-1}{4-x} \)
tanto el polinomio \( 3x-1 \) como \( 4-x \) son de igual grado(solo en este caso se que hacer)
tomo los coeficientes del primer termino de cada polinomio:
\( \displaystyle\frac{3}{-1}-->y=-3 \)

creo estar bien en el primero..... me ayudan en los siguientes, mi problema es al sacar la asintota horizontal, no se que se hace cuando el grado del polinomio(numerador) > o < al otro polinomio(denominador)

[delmar]

Hola

Te ayudo para la pregunta b)

f(x) factorizando se puede poner como :

\( f(x)=\displaystyle\frac{2}{(x+1)(x-2)} \)

f, es continua en R, excepto obviamente en x=-1 y en x=2 (No esta definida)

Se tiene también :

\( \displaystyle\lim_{x \to{-1}-}{f(x)}=+\infty \) y

\( \displaystyle\lim_{x \to{}-1 +}{f(x)}=-\infty \)

En consecuencia x=-1 es una asíntota vertical

\( \displaystyle\lim_{x \to{}2-}{f(x)}=-\infty \) y

\( \displaystyle\lim_{x \to{}2+}{f(x)}=+\infty \)

En consecuencia x=2 es una asíntota vertical

Se tiene también :

\( \displaystyle\lim_{x \to{+}\infty}{f(x)}=0 \)

\( \displaystyle\lim_{x \to{-}\infty}{f(x)}=0 \)

En consecuencia y=0 es una asíntota horizontal

[Luis Fuentes]

Hola

creo estar bien en el primero..... me ayudan en los siguientes, mi problema es al sacar la asintota horizontal, no se que se hace cuando el grado del polinomio(numerador) > o < al otro polinomio(denominador)

Una función \( f(x) \) tiene una asíntota horizontal \( y=k \) si:

\( \displaystyle\lim_{x \to{+}\infty}{}f(x)=k \) ó \( \displaystyle\lim_{x \to{-}\infty}{}f(x)=k \)

En particular si \( f(x)=\dfrac{p(x)}{q(x)} \) donde \( p(x) \) es un polinomio de grado \( n \) y \( q(x) \) es un polinomio de grado \( m \):

- Si \( n>m \) entonces \( \displaystyle\lim_{x \to{\pm }\infty}{}f(x)=\pm \infty \) y no hay asíntota horizontal.

- Si \( n=m \) entonces \( \displaystyle\lim_{x \to{\pm }\infty}{}f(x)=\dfrac{a_n}{b_m} \) siendo \( a_n,b_m \) respectivamente los coefcientes del monomio de mayor grado de los polinomios \( p(x) \) y \( q(x) \): hay asíntota horizontal \( y=\dfrac{a_n}{b_m} \).

- Si \( n<m \) entonces \( \displaystyle\lim_{x \to{\pm }\infty}{}f(x)=0 \)  hay asíntota horizontal \( y=0 \).

Saludos.