[elcristo]

Hola.

Recientemente ha surgido en clase un problema como anécdota, en el cuál yo todavía no he logrado ver exactamente qué es lo que falla.

Partimos de una semicircunferencia de radio \( r \). Si perímetro es \( \pi r \)
Dividimos el diámetro en 2. Y construimos semicircunferencias con ese diámetro. El perímetro de esas dos circunferencias seguirá siendo \( \pi r \)
Repetimos el proceso, de tal forma que vemos que el perímetro de las semicircunferencias se va pegando cada vez más y más al diámetro, luego el límite tiene sentido que sea el diámetro, pero es una sucesión constantemente \( \pi r \).

Sé que hay algo mal aplicado en algún sitio, y apostaría que el error está en pasar al límite, sin embargo no tengo claro por qué.



Saludos.

[feriva]

Hola.

Recientemente ha surgido en clase un problema como anécdota, en el cuál yo todavía no he logrado ver exactamente qué es lo que falla.

Partimos de una semicircunferencia de radio \( r \). Si perímetro es \( \pi r \)
Dividimos el diámetro en 2. Y construimos semicircunferencias con ese diámetro. El perímetro de esas dos circunferencias seguirá siendo \( \pi r \)
Repetimos el proceso, de tal forma que vemos que el perímetro de las semicircunferencias se va pegando cada vez más y más al diámetro, luego el límite tiene sentido que sea el diámetro, pero es una sucesión constantemente \( \pi r \).

Sé que hay algo mal aplicado en algún sitio, y apostaría que el error está en pasar al límite, sin embargo no tengo claro por qué.



Saludos.

 Trabaja con las áreas e intenta después relacionarlas con los perímetros; es lo que se me ocurre así por encima.

Saludos.  

[elcristo]

Hola.

 Trabaja con las áreas e intenta después relacionarlas con los perímetros; es lo que se me ocurre así por encima.

Saludos.  

Peor me lo pones. En cada iteración las áreas tienden a 0, y el perímetro no tiende a 0.

Saludos.

[Luis Fuentes]

Hola

Recientemente ha surgido en clase un problema como anécdota, en el cuál yo todavía no he logrado ver exactamente qué es lo que falla.

Partimos de una semicircunferencia de radio \( r \). Si perímetro es \( \pi r \)
Dividimos el diámetro en 2. Y construimos semicircunferencias con ese diámetro. El perímetro de esas dos circunferencias seguirá siendo \( \pi r \)
Repetimos el proceso, de tal forma que vemos que el perímetro de las semicircunferencias se va pegando cada vez más y más al diámetro, luego el límite tiene sentido que sea el diámetro, pero es una sucesión constantemente \( \pi r \).

Sé que hay algo mal aplicado en algún sitio, y apostaría que el error está en pasar al límite, sin embargo no tengo claro por qué.

El problema simplemente es que límite de las longitudes de una sucesión de curvas, no tiene porque coincidir con la longitud de la curva límite. Y fíjate, que más que preguntarte "que falla" deberías de preguntarte porque había de funcionar.

Este asunto lo tienes discutido aquí:

http://rinconmatematico.com/foros/index.php?topic=40449.0

http://rinconmatematico.com/foros/index.php?topic=15555.0

También está relacionado con esto:

http://rinconmatematico.com/foros/index.php?topic=38991.0

Saludos.

[elcristo]

Hola.

Gracias, ahora veo que no tiene por qué ser así, pero sigo sin verlo "intuitivamente".

De manera intuitiva, parece lógico pensar que si vamos "pegando" una curva a otra "tanto como queramos" deberíamos ser capaces de hacer que las curvas midan lo mismo, y más aún si sabemos que dos curvas (en \( R^2 \)) tienen la misma cantidad de puntos.

Sin embargo es evidente que no es así, porque no tiene sentido que lo sea.

Saludos.

[Luis Fuentes]

Hola

Gracias, ahora veo que no tiene por qué ser así, pero sigo sin verlo "intuitivamente".

De manera intuitiva, parece lógico pensar que si vamos "pegando" una curva a otra "tanto como queramos" deberíamos ser capaces de hacer que las curvas midan lo mismo

El propio ejemplo muestra que esa intuición no funciona. Pero piensa lo siguiente: plegado convenientemente tu puedes acercar un hilo de dos metros de longitud a uno de un metro, todo lo que quieras. Pero eso no modificará el hecho de que un hilo mida el doble que el otro.

, y más aún si sabemos que dos curvas (en \( R^2 \)) tienen la misma cantidad de puntos.

El concepto de "cantidad" de puntos es muy difuso. Si te refeires a la cardinalidad, no tiene nada que ver con la longitud. El segmento \( [0,1] \) tiene la misma cardinalidad que el \( [0,10 \)] y que los números reales, e incluso que el plano: la cardinalidad del continuo. Pero eso no tiene que ver nada con la medida de su longitud o área.

Saludos.

[elcristo]

Hola.

Sí, estoy completamente de acuerdo. Pero el asunto era ese, que en este caso la intuición al parecer choca de bruces con las matemáticas, y es un enfrentamiento que se sabe quién tiene las de ganar desde el principio.

Saludos.

[Luis Fuentes]

Hola

Sí, estoy completamente de acuerdo. Pero el asunto era ese, que en este caso la intuición al parecer choca de bruces con las matemáticas, y es un enfrentamiento que se sabe quién tiene las de ganar desde el principio.

El matiz en el que quise hacer hincapié en mi mensaje anterior, es que esa "intuición" que falla es simplemente porque es un tanto precipitada. Lo digo porque no hace falta recurrir a construcciones extrañas, ni ejemplos "monstruo" para darse cuenta de que no es correcta. Uno puede experimentarlo en la realidad con el ejemplo que te puse de las cuerdas.

Saludos.