[JCB]

Algo para observar.... ¿qué pasa sí, \( m>\dfrac{M}{3\mu} \)?

Hola a tod@s.

Veamos qué ocurre en el caso singular \( m=\dfrac{M}{3\mu} \). En esta situación, \( a=0 \).

1) Aplico \( \sum{F}=Ma_{CM} \) al disco.

\( -T+Mg=Ma_{CM} \)

\( T=Mg-Ma_{CM} \) (1)

2) \( a_{CM}=a+\alpha R=\alpha R \)

\( \alpha=\dfrac{a_{CM}}{R} \)

Aplico \( \sum{M}=I\alpha \) al disco.

\( TR=\dfrac{1}{2}MR^2\dfrac{a_{CM}}{R} \)

\( T=\dfrac{1}{2}Ma_{CM} \) (2)

Igualando (1) con (2),

\( a_{CM}=\dfrac{2}{3}g \)

Como para valores de \( m>\dfrac{M}{3\mu} \), seguirá cumpliéndose que \( a=0 \) (ya que no puede adquirir valores negativos, tal y como indica robinlambada), luego también se cumplirá que \( a_{CM}=\dfrac{2}{3}g \).

Nota: robinlambada, cuando disponga de tiempo, me dedicaré a tu interesante variante del ejercicio.

Saludos cordiales,
JCB.

[Richard R Richard]

Justamente, la observación la hice para que se comente que no toda relación de masa , es causa de los mismos efectos.
Juzgar apresuradamente las conclusiones que se  extraen del cálculo numérico, no siempre reflejan una realidad física.


Para la propuesta de robinlambada, el quid de la cuestión, está en que la aceleración angular del carrete por su radio debe ser en módulo igual a la aceleración de la masa superior.
A priori por el  resultado previo parecería que es necesaria una aceleración igual en módulo y contraria en sentido al centro de masa del carrete \( a_{cm}=2g/3 \) ¿pero será cierto?

[JCB]

Justamente, la observación la hice para que se comente que no toda relación de masa , es causa de los mismos efectos.
Juzgar apresuradamente las conclusiones que se  extraen del cálculo numérico, no siempre reflejan una realidad física.

Hola a tod@s.

Efectivamente, Richard, y así es. Pero el caso es que en el croquis se indica claramente que la masa \( m \) tiene una aceleración \( \vec{a} \), con dirección horizontal y sentido hacia la derecha. Por si no fuera suficiente, el texto también indica que el sistema está acelerado. Luego, no parece que pueda haber demasiada confusión, a mi entender.

Saludos cordiales,
JCB.

[Richard R Richard]

Efectivamente, JCB, los que buscan como se resuelven estos problemas son estudiantes que todavía no tienen muy claro el tema, en mi caso me lo tomo como un pequeño desafío personal para mantener las neuronas funcionando, creo que para los que siempre aportamos soluciones a temas de física, no resulta para nada un quebradero de cabeza, por eso le buscamos los límites extremos y más de una vez, le hallamos la quinta pata al gato.

[robinlambada]

Para la propuesta de robinlambada, el quid de la cuestión, está en que la aceleración angular del carrete por su radio debe ser en módulo igual a la aceleración de la masa superior.

Si , correcto

A priori por el  resultado previo parecería que es necesaria una aceleración igual en módulo y contraria en sentido al centro de masa del carrete \( a_{cm}=2g/3 \) ¿pero será cierto?

En principio parecería que debe ser como dices, ya que desde un observador situado en el centro de masas del carrete, este esta en reposo mientras que la masa se desplazaría a la izquierda con \( a=2g/3 \), pero mi planteamiento es sin rozamiento y pide la fuerza a aplicar a la masa m.

Se puede, si lo deseas, introducir el coeficiente de rozamiento y comprobar cual debe ser la fuerza a aplicar y de ahí inferir la aceleración de la masa m, que creo que no coincide con la que dices por una sutil situación que hace a mi juicio que no sea "simétrico" el planteamiento de los observadores.

A bote pronto ( sin hacer el planteamiento entero) , me da que la aceleración de m contando el rozamiento es \( a=2g \),  que no coincide con tu resultado intuitivo.

[Richard R Richard]

A bote pronto ( sin hacer el planteamiento entero) , me da que la aceleración de m contando el rozamiento es \( a=2g \),  que no coincide con tu resultado intuitivo.

De la aplicación de la segunda ley de Newton y  el equilibrio de momentos y de fuerzas sobre la masa m , se obtiene tu resultado, \( a=2g \)  que justamente a bote pronto  no es como la intuición parecería indicar, pues cambia el valor de la tensión.No había planteado nada hasta ahora.


Resulta que \( F=g(2m+M+\mu m) \) con sentido a la izquierda o bien negativo en un SR positivo hacia derecha como al inicio del hilo.

[JCB]

Hola a tod@s.

En la variante del ejercicio propuesta por robinlambada (quizás hubiera sido oportuno abrir un tema aparte), se trata de aplicar una fuerza horizontal a la masa \( m \), para que el disco ruede y empiece a subir. Seguramente no esté entendiendo bien la situación, pero cualquier tensión aplicada a la cuerda (consecuencia de aplicar una fuerza a la masa \( m \)), provoca que el disco gire en sentido horario, descendiendo su cdm, y desenrollándose de la cuerda. Otra cosa es que en el descenso, se desenrollase completamente de la cuerda, llegase el disco al extremo de la cuerda, y empezase a enrollarse (algo parecido a lo que ocurre en un yoyó) para subir.

A ver si pensándolo un poco más, consigo vislumbrar la idea de robinlambada.

Saludos cordiales,
JCB.

[Richard R Richard]

Hola la situación es como la escribes, el CM no acelera, pero si rota aceleradamente.

Equilibrio de furzas en la masa M

\( \sum F_y=0=T-P=T-Mg\quad\to\quad T=Mg \)

Equilibrio de momentos en M sobre el punto de tangencia de la cuerda

\( \sum M=TR=I\alpha=MgR=\dfrac12MR^2\alpha=\quad\to\quad \alpha=\dfrac{2g}{R} \)

Equilibrio de fuerzas en m

\( \sum F_x=-ma_m=-F+\mu mg+T \quad\to\quad F=ma_m+\mu mg+Mg \)

recordando que si cumpliendose

\( a_{CM}=0=a_m+\alpha R \quad\to\quad a_m=-\alpha R=-\dfrac{2g}{R}R=-2g \)

donde el signo indica el sentido a la izquierda

el módulo F resulta entonces ya teniendo en cuenta los signos

\( F=ma_m+\mu mg+Mg=g(2m+\mu m+M)\color{green}\checkmark \)

Saludos

[JCB]

Hola la situación es como la escribes, el CM no acelera, pero si rota aceleradamente.

Equilibrio de furzas en la masa M

\( \sum F_y=0=T-P=T-Mg\quad\to\quad T=Mg \)

... / ...

Hola a tod@s.

Richard: ¿ podrías describir la situación en la que aplicas la segunda ley al cdm del disco ?.

Saludos cordiales,
JCB.

[Richard R Richard]

Hola, JCB, hemos resuelto cosas peores,

¿que es lo que te crea dudas?




La tensión de la soga es igual al peso del disco y entonces no acelera el centro de masas, pero debido al momento desequilibrado, se desenrolla aceleradamente.

Saludos