[Smagh]

Buenas tardes a todos!

Tengo dudas con el siguiente problema:

\( \displaystyle\lim_{x \to{-}\infty}{(\displaystyle\frac{4-3x}{1-3x}})^x \)

Sé que por el teorema de la sustitución cualquier problema del tipo \( \displaystyle\lim_{x \to{}a}{e^x} \) es igual a \( e^(\displaystyle\lim_{x \to{}a}{x}) \), pero en este caso la base de la potencia no es una constante, sino que tengo variables tanto en la base como en el exponente. Cómo se ha de proceder en estos casos?

[Juan Pablo Sancho]

Hay un criterio que dice que si tengo dos funciones \(  f  \) cumpliendo \( \displaystyle \lim_{x \to  a} f(x) = 1  \) y \(  g  \) cumpliendo \( \displaystyle \lim_{x to a} g(x) = \infty  \)

Entonces:

\( \displaystyle \lim_{x \to a} f(x)^{g(x)} = e^{\lim_{x \to a} \delta(x)}  \) si existe el límite.

Donde \( \displaystyle \delta(x) = g(x) \cdot [f(x) - 1]  \).

Además puedo poner \(  -x = u  \) y tenemos que

\( {\displaystyle \lim_{x \to -\infty} (\dfrac{4-3\cdot x}{1-3\cdot x})^x = \lim_{u \to +\infty} (\dfrac{4 +3\cdot u}{1+3\cdot u})^{-u} = \lim_{u \to +\infty} (\dfrac{1 +3 \cdot u}{4+3\cdot u})^u } \)

[Smagh]

Hay un criterio que dice que si tengo dos funciones \(  f  \) cumpliendo \( \displaystyle \lim_{x \to  a} f(x) = 1  \) y \(  g  \) cumpliendo \( displaystyle \lim_{x to a} g(x) = \infty  \)

Entonces:

\( \displaystyle \lim_{x \to a} f(x)^{g(x)} = e^{\lim_{x \to a} \delta(x)}  \) si existe el límite.

Donde \( \displaystyle \delta(x) = g(x) \cdot [f(x) - 1]  \).

Además puedo poner \(  -x = u  \) y tenemos que

\( {\displaystyle \lim_{x \to -\infty} (\dfrac{4-3\cdot x}{1-3\cdot x})^x = \lim_{u \to +\infty} (\dfrac{4 +3\cdot u}{1+3\cdot u})^{-u} = \lim_{u \to +\infty} (\dfrac{1 +3 \cdot u}{4+3\cdot u})^u } \)

No sabía sobre ese criterio! Muchas gracias por la explicación