Dado un paralelogramo ABCD, se trazan las bisectrices de sus ángulos interiores, formándose con las intersecciones entre éstas un cuadrilátero IJKL.
¿Qué tipo de cuadrilátero es?
IJKL es un rectángulo. Ya que los ángulos consecutivos (por ejemplo A y B) son suplementarios, y por lo tanto de estar juntos A y B estaríamos hablando de las mismas bisectrices, por estar separados pues son perpendiculares, o mejor dicho, la bisectriz interior de A es perpendicular a la bisectriz interior de B (que se correspondería con la bisectriz exterior de A, en el caso de estar \( \hat{A} \) y \( \hat{B} \) sobre el mismo vértice).
¿Cómo debe ser ABCD para que IJKL sea un cuadrado?
ABCD debe ser un rectángulo.
Que los ángulos de IJKL son todos rectos ya lo vimos en el apartado anterior, y ahora lo seguirán siendo.
Tenemos que ver que los segmentos IJ=Jk=KL=LI.
Si ABCD es rectángulo, todas las bisectrices forman con sus respectivos lados 45º. Luego por ejemplo el triángulo ALB (según mi dibujo) será rectángulo en L e isósceles y por lo tanto AL=LB.
Por ser ABCD rectángulo los triángulos ALD=CJD y los tiángulos AID=CKB (Ya que los lados de ABCD son iguales 2 a 2).
Los segmentos:
AI=ID=BK=KC
DJ=JC=AL=LB
IL=AL-AI=LB-BK=LK y además por ser IJKL paralelogramo IL=KJ=LK=IJ por tanto IJKL es cuadrado.
Un poco liosa la explicación, ¿verdad?
