Como yo lo veo, cualquier teoría (en general, no sólo matemática) se basa en nociones, y tales puede que no sean descritas por entero con un conjunto de enunciados, aunque haya muchos que sean reconocidos como "verdaderos". De forma que de acuerdo a la noción que uno se forma en su mente puede, en concordancia con los enunciados anteriores aceptados, inventarse nuevos para justificar o profundizar puntos de vista.
Pero si no determinas exactamente cuáles son los axiomas de una teoría, entonces nada puedes decir sobre su consistencia. Si admites que en cualquier momento uno pueda inventarse nuevos enunciados y que con esto no tienes otra teoría, sino la misma, entonces no puedes probar la consistencia de todo lo que uno podría añadir en un futuro a la teoría.
Una prueba de consistencia sólo tiene sentido para una teoría en la que has explicitado sus axiomas (y sus reglas de inferencia, aunque éstas suelen ser las propias de la lógica y son comunes a todas las teorías).
Esto es lo que me parece ha sucedido con la geometría, de hecho la consistencia de la misma se contempló antes de la noción de sistema axiomático moderno, ante la imposibilidad de encontrar contradicciones en la geometría hiperbólica (eso creo). Los enunciados que entraban en juego eran los postulados de Euclides.
Cuando demuestras la consistencia de una teoría A respecto de otra teoría B, no necesitas precisar los axiomas de B, pero sí los de A. El planteamiento era si era consistente o no sustituir en los postulados de Euclides el axioma de las paralelas por su negación.
Es que si siempre hay que construir un modelo en base a otra teoría, la cuestión se aplaza infinitamente.
Eso ya depende de la actitud filosófica de cada cual. Un formalista radical te dirá que, en efecto, sólo existen pruebas de consistencia relativas, aunque no dan lugar a ninguna secuencia infinita, salvo en el caso de que uses teorías cada vez más fuertes para justificar la consistencia de teorías más débiles, pero eso no aporta nada.
Un formalista no tan radical considerará que algunas teorías tienen modelos intuitivos, es decir, que no están justificados por otra teoría axiomática, sino por el hecho de que nuestra intuición nos proporciona los objetos y las relaciones necesarias para construir el modelo, pero ahí hay que hilar muy fino, porque la palabra "intuición" es una de las más manoseadas por los matemáticos, y no todo vale.
Un platonista te dirá que para él cualquier teoría que le interese tiene "evidentemente" un modelo, donde lo que se entiende por "evidentemente" se lo tendrás que preguntar al platonista en cuestión, porque yo no sabría decirte.
Lo que me preguntaba es si no sería posible llegar a una especie de ¿paradoja? que diga "si afirmo esto, es verdad, si lo niego también".
No veo la relación.
