[Mathmanfreak]

Hola,
Me han planteado un problema de matemáticas, para ser exactos un sistema de ecuaciones que consta de 3 ecuaciones no lineales, y a la vista parece sencillo, pero al realizarlo se complican las cosas. ¿Alguien tiene alguna idea de como resolverlo?
Es el siguiente:

\( \begin{cases}\color{red}2x\sqrt{x+1}\color{black}-y(y+1)=1\\\color{red}2y\sqrt{y+1}\color{black}-z(z+1)=1\\\color{red}2z\sqrt{z+1}\color{black}-x(x+1)=1\end{cases} \)
Gracias!

CORREGIDO


Escribo la antigua versión del problema, la que estaba mal, para que se entiendan los mensajes que se referían a ella:

\( \begin{cases}\color{blue}\sqrt{2\sqrt{x+1}}\color{black}-y(y+1)=1\\\color{blue}\sqrt{2\sqrt{y+1}}\color{black}-z(z+1)=1\\\color{blue}\sqrt{2\sqrt{z+1}}\color{black}-x(x+1)=1\end{cases} \)

[ingmarov]

Hola

Solo una idea, quizás sirva

Primero sabemos que         \( x\geq -1,\quad y\geq -1, \quad z\geq -1 \)


Viendo las ecuaciones ¿no tendremos una solución que se ajuste a  x=y=z?


Saludos


podría ser

\( x=y=z\approx 0.385642 \)     (de wolfram)

ó

\( x=y=z\approx -0.853486 \)     (de wolfram)




a wolfram introduje

\( \sqrt{2\sqrt{x+1}}-x(x+1)=1 \)



Lo más práctico para resolver la última ecuación es utilizar métodos numéricos. Si se intenta dejar las raíces a la izquierda y lo demás a la derecha de la igualdad, luego se eleva a la cuarta potencia a ambos lados, a la derecha nos queda un pollnomio de grado 8.


Y cómo demostrar que las soluciones son las únicas.

[Mathmanfreak]

Hola

Solo una idea, quizás sirva

Primero sabemos que         \( x\geq -1,\quad y\geq -1, \quad z\geq -1 \)


Viendo las ecuaciones ¿no tendremos una solución que se ajuste a  x=y=z?


Saludos


podría ser

\( x=y=z\approx 0.385642 \)     (de wolfram)

ó

\( x=y=z\approx -0.853486 \)     (de wolfram)




a wolfram introduje

\( \sqrt{2\sqrt{x+1}}-x(x+1)=1 \)



Lo más práctico para resolver la última ecuación es utilizar métodos numéricos. Si se intenta dejar las raíces a la izquierda y lo demás a la derecha de la igualdad, luego se eleva a la cuarta potencia a ambos lados, a la derecha nos queda un pollnomio de grado 8.


Y cómo demostrar que las soluciones son las únicas.

Permíteme la ignorancia, pero ¿Qué es Wolfram? Y ¿Como has deducido que x=y=z?
Gracias!

[Luis Fuentes]

Hola

Permíteme la ignorancia, pero ¿Qué es Wolfram?
Gracias!

Wolfram Alpha es una página que responde a preguntas de contenido científico; es especialemente útil para ayudar a realizar ciertos cálculos matemáticos.

Igualmente Wolfram comercializa el Mathematica que es un software específico para matemática.

Y ¿Como has deducido que x=y=z?

Por la simetría de la tres ecuaciones, es claro que si tomamos \( x=y=z \) con x solución de la ecuación:

\( \sqrt{2\sqrt{x+1}}-x(x+1)=1 \)

Fíjate que ahí no estamos demostrando que no pueda haber soluciones con \( x\neq y\neq z \). En principio no lo sabemos.

Por otra parte, ¿en qué contexto te surge el problema? ¿seguro que has copiado bien las ecuaciones?. Me llama la antención que incluso para la solución más obvia, que es la propuesta por ingmarov, nos lleva a una ecuación en una incógnita que todo apunta a que no es resoluble de manera explícita sino solo por métodos numéricos.

Saludos.

[ykesni]

Hola


Solo para aclarar un poco, usa wolfram para verificar tus cálculos es una versión como matlab, pero te ayuda mas, ya que es mucho mas visual, otra cosa estaba revisando y perdón la pregunta pero que estudias? considero que tuviste algún error copiado, ya que la resolución se obtiene por métodos numéricos. el compañero hace un análisis valido, solo que esta partiendo de una asunción hasta que logra comprobarla si era tu duda de esa linea de pensamiento.



Saludos





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[Mathmanfreak]

Hola


Solo para aclarar un poco, usa wolfram para verificar tus cálculos es una versión como matlab, pero te ayuda mas, ya que es mucho mas visual, otra cosa estaba revisando y perdón la pregunta pero que estudias? considero que tuviste algún error copiado, ya que la resolución se obtiene por métodos numéricos. el compañero hace un análisis valido, solo que esta partiendo de una asunción hasta que logra comprobarla si era tu duda de esa linea de pensamiento.



Saludos





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El problema es de una olimpiada matemática para alumnos de Bachillerato, y sí, está bien copiado, por eso me extrañó la dificultad y decidí preguntarlo aquí.
Estoy estudiando 2°Bachillerato, por segunda vez, pero repetí por letras, las ciencias me encantan.
Bueno, con respecto al problema he obtenido un polinomio de octavo grado... ¡Qué locura!
Un saludo!

[Luis Fuentes]

Hola

El problema es de una olimpiada matemática para alumnos de Bachillerato, y sí, está bien copiado, por eso me extrañó la dificultad y decidí preguntarlo aquí.
Estoy estudiando 2°Bachillerato, por segunda vez, pero repetí por letras, las ciencias me encantan.

¿Sabes exactamente en qué olimpiada salió? ¿Internacional? ¿Nacional? ¿Autonómica?¿Año?. A ver si puedes enterarte... 

Bueno, con respecto al problema he obtenido un polinomio de octavo grado... ¡Qué locura!

Si, haciendo el cambio \( x+1=t^4  \)la cuestión se reduce a resolver el polinomio:

\( t^8-t^4-\sqrt{2}t+1=0 \)

Pero de nuevo no parece que se le pueda meter mano sin recurrir a métodos numéricos.

No sé si habrá una idea feliz "perdida por ahí"": quizá un cambio de variable, alguna sustitución trigonométrica,.. no sé no acabo de verlo. Para ser sincero yo sigo sospechando que pueda haber algún error en el enunciado, pero quizá sea la frustración de no encontrar como hincarle el diente... 

Saludos.

[Mathmanfreak]

Hola

El problema es de una olimpiada matemática para alumnos de Bachillerato, y sí, está bien copiado, por eso me extrañó la dificultad y decidí preguntarlo aquí.
Estoy estudiando 2°Bachillerato, por segunda vez, pero repetí por letras, las ciencias me encantan.

¿Sabes exactamente en qué olimpiada salió? ¿Internacional? ¿Nacional? ¿Autonómica?¿Año?. A ver si puedes enterarte... 

Bueno, con respecto al problema he obtenido un polinomio de octavo grado... ¡Qué locura!

Si, haciendo el cambio \( x+1=t^4  \)la cuestión se reduce a resolver el polinomio:

\( t^8-t^4-\sqrt{2}t+1=0 \)

Pero de nuevo no parece que se le pueda meter mano sin recurrir a métodos numéricos.

No sé si habrá una idea feliz "perdida por ahí"": quizá un cambio de variable, alguna sustitución trigonométrica,.. no sé no acabo de verlo. Para ser sincero yo sigo sospechando que pueda haber algún error en el enunciado, pero quizá sea la frustración de no encontrar como hincarle el diente... 

Saludos.

Efectivamente el problema estaba mal copiado, mi compañero estaba totalmente convencido de que era así, pero faltó que le insistiera en que lo revisara para que viera que no, vaya desastre jajaja
Ya está el problema actualizado en el post.
Siento haberos hecho perder tiempo, pero el nuevo problema tampoco es moco de pavo.
Un saludo!

[Luis Fuentes]

Hola

Efectivamente el problema estaba mal copiado, mi compañero estaba totalmente convencido de que era así, pero faltó que le insistiera en que lo revisara para que viera que no, vaya desastre jajaja
Ya está el problema actualizado en el post.
Siento haberos hecho perder tiempo, pero el nuevo problema tampoco es moco de pavo.
Un saludo!

¡Ah!. Pero el panorama cambia.

Spoiler

En primer lugar si presuponemos las soluciones iguales y queremos resolver:

\( 2x\sqrt{x+1}-x(x+1)=1 \)

queda:

\( 2x\sqrt{x+1}=x^2+x+1 \)

y elevando al cuadrado y simplificando:

\( x^4-2x^3-x^2+2x+1=0 \)

Entonces ese polinomio tiene los coeficiente antisimétricos es decir el coeficiente del término de grado \( n \) es el mismo que el del término grado \( 4-n \) multiplciado por \( (-1)^n \). Eso hace que si \( x_0 \) es solución del polinomio entonces \( 1/x_0 \) también lo es y permite resolverlo. Dejo la idea por si quieres continuar...

También puedes comprobar que:

\( x^4-2x^3-x^2+2x+1=(x^2-x-1)^2 \)

Por otra parte a la hora de probar que efectivamente tiene que darse \( x=y=z \) puedes tener en cuenta que la ecuación puedes escribirse como:

\( 2\sqrt{x^2(x+1)}=y^2+(y+1) \)

Por la desigualdad aritmético-geométrica:

\( 2\sqrt{x^2(x+1)}\leq x^2+x+1 \)

y se da la igualdad sólo si \( x^2=x+1 \).

Por tanto:

\( y^2+y+1\leq x^2+x+1 \)

Ahora puedes reiterar el argumento con las otras ecuaciones y... intenta concluir...

[cerrar]

Saludos.