[juanjocepeda]

En \( \mathcal{E_{3}}=\mathbb{R{^3}} \) se considera la referencia ortonormal canónica \( \mathcal{R} = {0, \overrightarrow{e_{1}}, \overrightarrow{e_{2}}, \overrightarrow{e_{3}}}  \).
Determinar la ecuación de todos los planos  que contiene la recta \( f(x)=\begin{cases} x - y - z = 4\\x + y = 0\end{cases} \)     y tales que la distacia al origen es igual a 2.

Agradecido por su colaboración.

[Fernando Revilla]

Usa el que la ecuación de todos los planos que contienen a la recta

          \( r:\begin{cases} Ax+By+Cz+D=0 \\ A'x+B'y+C'z+D'=0\end{cases} \)

es \( \alpha ( Ax+By+Cz+D)+\beta (A'x+B'y+C'z+D')=0 \) con \( \alpha,\beta \) reales y no simultaneamente nulos.

Puedes usar alternativamente la fórmula

          \(  Ax+By+Cz+D+\lambda (A'x+B'y+C'z+D')=0 \)

con \( \lambda \) real, que proporciona todos los planos que contienen a \( r \) excluido el plano \( A'x+B'y+C'z+D'=0. \)

[juanjocepeda]

He llegado hasta  esta ecuación:

 \( (1 + \lambda)x +(-1 + \lambda)y - z =4. \)

¿cómo utilizo el dato de que la distancia al origen es 2? y en donde utilizo  la referencia ortonormal canónica?

[Luis Fuentes]

Hola

He llegado hasta  esta ecuación:

 \( (1 + \lambda)x +(-1 + \lambda)y - z =4. \)

¿cómo utilizo el dato de que la distancia al origen es 2? y en donde utilizo  la referencia ortonormal canónica?

El dato de que trabajas en la referencia ortonormal canónica te indica que trabajas con el producto escalar usual. En ese contexto la fórmula de la distancia de un plano \( ax+by+cz+d=0 \) a un punto \( (x_0,y_0,z_0) \) es:

\( d=\dfrac{|ax_0+by_0+cz_0+d|}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}} \)

Si la aplicas a tu caso te queda la ecuación:

\( 2=\dfrac{|(1+\lambda)\cdot 0+(-1+\lambda)\cdot 0-1\cdot 0-4|}{\sqrt{(1+\lambda)^2+(-1+\lambda)^2+(-1)^2}} \)

Sólo te queda resolver la ecuación.

Saludos.