[juanjocepeda]

En \( \mathcal{E_{3}} \)  se considera el plano \(  \mathcal{P_{1}} \) de ecuación \(  x + y +z = 1 \), la recta pasando  \(  \mathcal{R_{1}} \) por \(  A( -1, 0, 1)    \) de vector director \( \vec{u}  \begin{bmatrix}1\\{1}\\ {-1}\end{bmatrix} \). Sea \(   \mathcal{P_{2}} \) el plano pasando por \(  B (1, 0, 1) \) y contenido \(   \mathcal{R_{1}} \). Sea \(   \mathcal{R_{2}} \) la recta pasando por A y perpendicular a \(  \mathcal{P_{1}} \). Determinar los ángulos entre \(  \mathcal{R_{1}} y \mathcal{R_{2}};  \mathcal{R_{1}} y \mathcal{P_{1}};  \mathcal{P_{1}} y \mathcal{P_{2}};  \).


MUchas gracias por su colaboración

[Luis Fuentes]

Hola

En \( \mathcal{E_{3}} \)  se considera el plano \(  \mathcal{P_{1}} \) de ecuación \(  x + y +z = 1 \), la recta pasando  \(  \mathcal{R_{1}} \) por \(  A( -1, 0, 1)    \) de vector director \( \vec{u}  \begin{bmatrix}1\\{1}\\ {-1}\end{bmatrix} \). Sea \(   \mathcal{P_{2}} \) el plano pasando por \(  B (1, 0, 1) \) y contenido \(   \mathcal{R_{1}} \). Sea \(   \mathcal{R_{2}} \) la recta pasando por A y perpendicular a \(  \mathcal{P_{1}} \). Determinar los ángulos entre \(  \mathcal{R_{1}} y \mathcal{R_{2}};  \mathcal{R_{1}} y \mathcal{P_{1}};  \mathcal{P_{1}} y \mathcal{P_{2}};  \).

Llevas ya preguntados unos cuantos problemas de geometría afín. La mayoría son aplicación directa de fórmulas que se explican en la teoría de espacios afines. Entonces sería bueno que no te limitases a poner el enunciado, sino que indicases que has intentado y que dificultades concretas encuentras.

Las formas de calcular el ángulo entre variedades las tienes descritas en las páginas 33 y 34 de estas notas:

 http://caminos.udc.es/info/asignaturas/grado_tecic/101/AL2/pdfs/TEORIA3-1.pdf

Para  hallar la recta \( R_2 \) utiliza que pasa por el punto \( A \) dado y tiene como vector director el vector normal de \( P_1 \), el \( (1,1,1). \)

Para hallar el plano \( P_2 \) utiliza que pasa por \( B \) y tienen por vectores directores el de la recta \( R_1 \) y el que une \( A \) y \( B \).

Saludos.

[juanjocepeda]

cómo expreso el plano

\(   \mathcal{P_{2}} \) el plano pasando por \(  B (1, 0, 1) \) y contenido \(   \mathcal{R_{1}} \).

[Luis Fuentes]

Hola

cómo expreso el plano

\(   \mathcal{P_{2}} \) el plano pasando por \(  B (1, 0, 1) \) y contenido \(   \mathcal{R_{1}} \).

Te lo indiqué en mi  mensaje anterior:

Para hallar el plano \( P_2 \) utiliza que pasa por \( B \) y tienen por vectores directores el de la recta \( R_1 \) y el que une \( A \) y \( B \).

El plano pasa por \( B=(1,0,1) \); tiene por vectores directores el de la recta \( R_1 \), es decir, \( (1,1,-1) \) y el que une \( A \) y \( B \) es decir \( B-A=(1,0,1)-(-1,0,1)=(2,0,0) \).

La ecuación implícita de un plano que pasa por un punto \( (x_0,y_0,z_0) \) y tiene por vectores directores \( (u_1,u_2,u_3) \), \( (v_1,v_2,v_3) \) se puede obtener desarrollando el determinante:

\( \left|\begin{matrix}{x-x_0}&{y-y_0}&{z-z_0}\\{u_1}&{u_2}&{u_3}\\{v_1}&{v_2}&{v_3}\end{matrix}\right|=0 \)

Aplícalo a los datos que te indiqué más arriba.

Saludos.

P.D. Aquí tienes unos apuntes sobre Geometría Afín que podrían ayudarte.

http://caminos.udc.es/info/asignaturas/grado_tecic/101/AL2/pdfs/TEORIA3-1.pdf

Aquí una colección de ejercicios resueltos.

http://caminos.udc.es/info/asignaturas/grado_tecic/101/AL2/pdfs/NOHECHO3-12-2014-15.pdf