[juanjocepeda]

Considera los puntos de \(  \mathbb{R^{3}}  \)  \(  p_{0} = (0, 0, 1), p_{1} = (0, 1, 0), p_{2} = (0, 0, 0), p_{3} = (1, 0, 0), q_{0}=(2, 1, 1), q_{1}= (1, 0, 1), q_{2}=(1, 1, 0), q_{3}=(0, 0, -1) \)

a. Demuestre que \( \mathcal{R}=\{p_{0}, p_{1}, p_{2}, p_{3}\}  \) y \( \mathcal{R´}=\{q_{0}, q_{1}, q_{2}, q_{3}\}  \) son afines de \(  \mathbb{R^{3}}  \)

b. Hallar las ecuaciones de cambio de coordenadas cartesianas de la referencia \( \mathcal{R}  \) a la referencia \( \mathcal{R´}  \)

c.Hallar las ecuaciones de cambio de coordenadas baricéntricas de la referencia \( \mathcal{R}  \) a la referencia \( \mathcal{R´}  \).


Muchas gracias por su atención

[Luis Fuentes]

Hola

Considera los puntos de \(  \mathbb{R^{3}}  \)  \(  p_{0} = (0, 0, 1), p_{1} = (0, 1, 0), p_{2} = (0, 0, 0), p_{3} = (1, 0, 0), q_{0}=(2, 1, 1), q_{1}= (1, 0, 1), q_{2}=(1, 1, 0), q_{3}=(0, 0, -1) \)

a. Demuestre que \( \mathcal{R}=\{p_{0}, p_{1}, p_{2}, p_{3}\}  \) y \( \mathcal{R´}=\{q_{0}, q_{1}, q_{2}, q_{3}\}  \) son afines de \(  \mathbb{R^{3}}  \)

Supongo que te refieres a comprobar que son referencias afines. Es equivalente a comprobar que los vectores \( p_0p_1,p_0p_2 y p_0p_3 \) forman base de \( R^3 \), es decir, que la matriz de sus coordenadas tiene rango tres. A efectos de cálculo recuerda que \( p_0p_i=p_i-p_0 \); por ejemplo:

\( p_0p_1=p_1-p_0=(0,1,0)-(0,0,1)=(0,1,-1) \)

\( [b]b.[/b] Hallar las ecuaciones de cambio de coordenadas cartesianas de la referencia [tex]\mathcal{R}  \) a la referencia \( \mathcal{R´}  \)[/tex]

Escribe los vectores \( B=\{p_0p_1,p_0p_2,p_0p_3\} \) en función de los vectores \( B'=\{q_0q_1,q_0q_2,q_0q_3\} \). Las coordenadas que obtienes puestas en columna te darán una matriz \( A \), que es la matriz de cambio de base de la base \( B \) a la base \( B' \). Después escribe las coordenadas de \( p_0 \) en la referencia \( R' \); equivalentemente las coordenadas del vector \( p_0q_0 \) en la base \( B' \). Si llamas \( C \) a ese vector (columna) de coordenadas, las ecuaciones de cambio de referencia son:

\( \begin{pmatrix}{x'}\\{y'}\\{z'}\\\end{pmatrix}=C+A\begin{pmatrix}{x}\\{y}\\{z}\\\end{pmatrix} \)

c.Hallar las ecuaciones de cambio de coordenadas baricéntricas de la referencia \( \mathcal{R}  \) a la referencia \( \mathcal{R´}  \).

La ecuación es:

\( \begin{pmatrix}{x_0'}\\{x_1'}\\{x_2'}\\{x_3'}\\\end{pmatrix}=M\begin{pmatrix}{x_0'}\\{x_1'}\\{x_2'}\\{x_3'}\\\end{pmatrix} \)

donde \( M=Q'^{-1}Q \) siendo \( Q \) y \( Q' \) respectivamente las matrices \( 4\times 4 \) que tienen como columnas las coordenadas de los puntos \( p_0,p_1,p_2,p_3 \) y \( q_0,q_1,q_2,q_3 \) ampliadas con un uno al final.

Saludos.

[juanjocepeda]

una duda, pero los vectores \( p_{0}, p_{1}, p_{2}, p_{3} \) no me formarían una matriz  3*4. En caso de ser así como completo el el 4to vector fila?

[Luis Fuentes]

Hola

una duda, pero los vectores \( p_{0}, p_{1}, p_{2}, p_{3} \) no me formarían una matriz  3*4. En caso de ser así como completo el el 4to vector fila?

Pero el único sitio donde tienes que usar las coordenadas de esos puntos (que no vectores) para formar una matriz es aquí:

La ecuación es:

\( \begin{pmatrix}{x_0'}\\{x_1'}\\{x_2'}\\{x_3'}\\\end{pmatrix}=M\begin{pmatrix}{x_0'}\\{x_1'}\\{x_2'}\\{x_3'}\\\end{pmatrix} \)

donde \( M=Q'^{-1}Q \) siendo \( Q \) y \( Q' \) respectivamente las matrices \( 4\times 4 \) que tienen como columnas las coordenadas de los puntos \( p_0,p_1,p_2,p_3 \) y \( q_0,q_1,q_2,q_3 \) ampliadas con un uno al final.

Ya te indico (marcado en rojo) que las coordenadas deben de ser ampliadas añadiendo un uno al final.

Saludos.