[MainOwner]

Hola, necesito ayuda para resolver estos apartados de un ejercicio
Sean M el conjunto de matrices cuadradas 2x2 con coeficientes reales. En M se define la siguiente relación:
ARB\( \Longleftrightarrow{} \)existe una matrix P \( \in{} \) M inversible: A=\( P^{-1}BP \)

1º Demostrar que la relación R es de equivalencia
2º Probar que si la clase de A = clase de B, entonces |A|=|B|
3º aRb\( \Longleftrightarrow{} \)det(A)=det(B)

[Fernando Revilla]

Hola, necesito ayuda para resolver estos apartados de un ejercicio
Sean M el conjunto de matrices cuadradas 2x2 con coeficientes reales. En M se define la siguiente relación:
ARB\( \Longleftrightarrow{} \)existe una matrix P \( \in{} \) M inversible: A=\( P^{-1}BP \)
1º Demostrar que la relación R es de equivalencia

¿Qué dificultades concretas has encontrado?

2º Probar que si la clase de A = clase de B, entonces |A|=|B|

\( \left |{A}\right |=\left |{P^{-1}BP}\right |=\left |{P^{-1}}\right |\left |{B}\right |\left |{P}\right |=\ldots=\left |{B}\right |. \)

3º ARB\( \Longleftrightarrow{} \)det(A)=det(B)

Es falso, elige \( B=\begin{bmatrix}{0}&{0}\\{0}& {0}\end{bmatrix},\quad A=\begin{bmatrix}{1}&{-1}\\{1}&{-1}\end{bmatrix}. \)

[MainOwner]

Hola de nuevo,
Para el primero de los apartados, probar que es de equivalencia, se me ocurre decir que:
ARA \( \forall{} \)A\( \in{} \)M, porque podemos tomar P=I(de orden2) y A=\( I^{-1} \)AI (reflexiva)
Ahora bien la simétrica y la transitiva no sabría probarlas.

[robinlambada]

Hola.

Hola de nuevo,
Para el primero de los apartados, probar que es de equivalencia, se me ocurre decir que:
ARA \( \forall{} \)A\( \in{} \)M, porque podemos tomar P=I(de orden2) y A=\( I^{-1} \)AI (reflexiva)
Ahora bien la simétrica y la transitiva no sabría probarlas.

Para la simétrica , solo tienes que definir \( P'=P^{-1} \) de \( ARB\Leftrightarrow{}A=P^{-1}BP=P'BP'^{-1} \),  despejando  B , \( B=P'^{-1}AP'\Leftrightarrow{}BRA \)

Para la transitiva

Solo tener en cuenta que \( D=P'P\Leftrightarrow{}D^{-1}=P^{-1}P'^{-1} \) ,  y aplicar la definición a ARB (1) con P , BRC (2)con P' , y sustituir en (1) la expresión de B obtenida de (2)

Saludos.