[MainOwner]

Buenas noches, tengo dudas con algunos ejercicios de conjuntos numerables

1º Se me pide ver que el conjunto de números irracionales es no numerable, para ello indico que la unión de numerables es numerable, como Q se ha visto que es numerable, si lo fuera I entonces R también lo sería. ¿Sería correcto?
2º Me piden ver que |R-{1}|=|R-{2}|
3º Se me pide demostrar que el conjunto de enteros de Gauss es numerable

Muchas gracias por su tiempo y su ayuda

[feriva]

Buenas noches, tengo dudas con algunos ejercicios de conjuntos numerables

1º Se me pide ver que el conjunto de números irracionales es no numerable, para ello indico que la unión de numerables es numerable, como Q se ha visto que es numerable, si lo fuera I entonces R también lo sería. ¿Sería correcto?

Correcto sí es, pero no sé yo si puedes contar directamente con que los reales no son numerables, seguramente tienes que demostrarlo; mediante la diagonal de Cantor o algo.

En cuanto a la segunda supongo que quiere decir que el cardinal de los reales sin el 1 es el mismo que el cardinal de los reales sin el 2. Si se ha demostrado lo anterior (que los irracionales son no numerables) al quitarle el 1 ó el 2 quedan todos los irracionales, que tienen el mismo cardinal que los reales, por tanto, bastaría con ese argumento, creo.

En cuanto a la tercera usa la misma idea que en la demostración de que los racionales son numerables; un racional es un par (a,b) donde “a” es el valor del numerador y “b” el del denominador, en el caso de los enteros de Gauss también puedes hacer una tabla semejante y llegar a la misma conclusión (vamos, supongo, yo no sé de esto demasiado).

Saludos. 

[Juan Pablo Sancho]

Para el segundo te podría servir probar que la aplicación \(  f(x) = \dfrac{1}{x-1} + 2  \) es biyectiva de \(  \mathbb{R}\setminus \{1\}  \) en \(  \mathbb{R}\setminus \{2\}  \)

[MainOwner]

Perdón por mi ignorancia, pero cómo probaría que f(x) es biyectiva de \( R∖\{1\} \) en \( R∖\{2\} \)

[Juan Pablo Sancho]

Probando que es suprayectiva e inyectiva.(mira los spoilers si no te sale, como recurso final).

Suprayectiva: Para todo elemento \(  y  \) de \( \mathbb{R} \setminus \{2\}  \) existe al menos un elemento \(  x  \) de \( \mathbb{R} \setminus \{1\}  \) tal que :

\(  y = f(x) = \dfrac{1}{x-1} + 2  \) prueba que esto si que pasa.

Spoiler

\(  y = \dfrac{1}{x-1} + 2  \) entonces \(  y-2 = \dfrac{1}{x-1}  \) como \(  y \neq 2  \) tenemos \(  x-1 = \dfrac{1}{y-2}  \) que queda \(  x = 1 + \dfrac{1}{2-y}  \)

Tienes que se cumple lo que queremos por ser \(  \dfrac{1}{2-y} \neq 0  \) tenemos que \(  x \neq 1  \).

[cerrar]

Inyectiva: si las imágenes son iguales \(  f(x) = f(s)  \) entonces \(  x = s  \) . 

Spoiler

\(  f(x) = f(s)  \)

\(  \dfrac{1}{x-1} + 2 =  \dfrac{1}{s-1} + 2  \) resto dos en ambos lados.

\(  \dfrac{1}{x-1} =  \dfrac{1}{s-1}  \) multiplico por \(  (x-1) \cdot (s-1)  \)

\(  s-1 =  x-1  \) entonces \(  x = s  \)

[cerrar]

[argentinator]

Para la numerabilidad de los enteros Gaussianos,
consideremos tan sólo el subconjunto de los enteros Gaussianos del primer cuadrante,
es decir, aquellos cuyas partes real e imaginaria son positivas.

Para ellos basta definir una aplicación del siguiente modo:

\( f(a+bi) = 2^{a-1}(2b-1). \)

Tendrías que probar que esa aplicación es una biyección entre el 1er cuadrante de los enteros gaussianos y los enteros positivos.

El resto de los cuadrantes es análogo, y entonces podrás escribir el conjunto de todos los enteros gaussianos como unión de unos pocos (finitos) conjuntos numerables.

Saludos.

[Luis Fuentes]

Hola

Para el segundo te podría servir probar que la aplicación \(  f(x) = \dfrac{1}{x-1} + 2  \) es biyectiva de \(  \mathbb{R}\setminus \{1\}  \) en \(  \mathbb{R}\setminus \{2\}  \)

Esto está bien. Pero es mucho más sencillo \( f(x)=x+1 \) con inversa \( f^{-1}(x)=x-1 \). 

Saludos.

[Juan Pablo Sancho]

Esto está bien. Pero es mucho más sencillo \( f(x)=x+1 \) con inversa \( f^{-1}(x)=x-1 \). 

Que bajón.