[MainOwner]

Buenas, necesito ayuda con estos dos ejercicios sobre cardinalidad de conjuntos.

1- Sea h: N \( \rightarrow \)  R la aplicación definida por h(n) = \( \frac{n}{n^2+1} \)
   -Prueba que h es inyectiva y deduce que Im(h) es numerable
   -Sea S=\( \{ -\frac{1}{n}  : n\in{N}\:con\: n\geq{1}\} \) ¿Es S numerable?
   -Prueba que el conjunto N*\( \cup \)S\( \cup \)Im(h) es numerable.

2-Sea P=\( \{  p\in N : p\: es\: primo \} \)
   -Probar que ZxP es numerable

[Fernando Revilla]

Bienvenido al foro. Por favor, procura en el futuro escribir lo que has intentado

Sea h: N \( \rightarrow \)  R la aplicación definida por h(n) = \( \frac{n}{n^2+1} \)
   -Prueba que h es inyectiva y deduce que Im(h) es numerable

Demuestra que \( h(n+1)-h(n)<0 \) para todo \( n \) lo cual prueba que \( h \) es inyectiva y por ende, \( h:\mathbb{N}\to \text{Im }h  \) biyectiva.

 -Sea S=\( \{ -\frac{1}{n}  : n\in{N}\:con\: n\geq{1}\} \) ¿Es S numerable?

Sí, pues \( f:S\to \mathbb{N} \) dada por \( f(-1/n)=n-1 \) es biyectiva.

Prueba que el conjunto N*\( \cup \)S\( \cup \)Im(h) es numerable.

\( g:\mathbb{N}^*\to \mathbb{N} \) dada por \( g(n)=n-1 \) es biyectiva, con lo cual \( \mathbb{N}^* \) es numerable y además la unión contable de contables es contable.

   -Sea P=\( \{  p\in N : p\: es\: primo \} \)
   -Probar que ZxP es numerable

\( P \) y \( \mathbb{Z} \) son numerable y el producto cartesiano de dos numerables, es numerable.

[delmar]

Hola
Para la pregunta 1, se puede demostrar por reducción al absurdo.

Suponer, que existen a y bnúmeros naturales distintos (b>a), tal que h(a)=h(b), es decir se supone, que h no es inyectiva.

Por definición de h(n) :

\( \displaystyle\frac{a}{a^2+1}=\displaystyle\frac{b}{b^2+1} \)

Operando :

\( ab^2-ba^2=b-a \)

\( (ba)(b-a)=b-a \)

\( ab=1 \) Ecuación 1

a y b son números naturales y (b>a) entonces :

\( a\geq{1} \)

\( b>1 \)

Por lo tanto : \( ab>1 \) Contradice a la Ecuación 1, absurdo

Es evidente que la Im(h) es numerable, por que a cada elemento de Im(h) se asocia
un único elemento de N y viceversa.

Para el siguiente apartado de la pregunta 1

Es evidente que S es numerable, por que a cada elemento de S se asocia único elemento de N
y viceversa, S(n) es estrictamente creciente.

[MainOwner]

Hola, lo primero muchas gracias a los dos por su ayuda.
Para el tercer apartado del primer ejercicio, probar que es numerable, no me dejan utilizar que la unión de numerables es numerable. ¿Habría alguna otra forma de ver que es numerable? Creo que tengo que definir una aplicación biyectiva.

Un saludo.

[Raúl Aparicio Bustillo]

Puedes usar la aplicación \( f: Z\times{P}\longrightarrow{Q}  \)  \(  f(a,b)=\frac{a}{b} \)

[Juan Pablo Sancho]

Me voy que es tarde, esa aplicación no sería inyectiva \(  f(4,2) = f(14,7)  \) que no digo que no funcione.

Otra aplicación podría ser \(  g: \mathbb{Z} \setminus \{0\} \times \mathbb{P} \to \mathbb{Q}  \) definida por \(  g(x,y) = 2^x \cdot 3^y  \).

Esta aplicación creo es inyectiva.
Me largo a dormir.

[Luis Fuentes]

Hola

Hola, lo primero muchas gracias a los dos por su ayuda.
Para el tercer apartado del primer ejercicio, probar que es numerable, no me dejan utilizar que la unión de numerables es numerable. ¿Habría alguna otra forma de ver que es numerable? Creo que tengo que definir una aplicación biyectiva.

Un saludo.

En general supón que tienes una colección \( A_i \), \( i=1,\ldots,n \) de conjuntos numerables y por tanto biyecciones:

\( f_i:A_i\longrightarrow{}N \)

Pues demostrar que la unión disjunta \( A=A_0\sqcup A_1\sqcup \ldots\sqcup A_n \) es numerable definiendo:

\( f:A\longrightarrow{}N,\quad (f_i(a)-1)\cdot n+i \) si \( a\in A_i \)

Saludos.

[Raúl Aparicio Bustillo]

Me voy que es tarde, esa aplicación no sería inyectiva \(  f(4,2) = f(14,7)  \) que no digo que no funcione.

Otra aplicación podría ser \(  g: \mathbb{Z} \setminus \{0\} \times \mathbb{P} \to \mathbb{Q}  \) definida por \(  g(x,y) = 2^x \cdot 3^y  \).

Esta aplicación creo es inyectiva.
Me largo a dormir.

No, evidentemente la aplicación que he propuesto es trivialmente no inyectiva y no sirve, basta el contraejemplo de Juan Pablo. Siento no haber sido de ayuda