[AldoRM]

Hola estimados,
      Agradecerí­a su ayuda en el siguiente problema:
      Sea \( \textbf{L}  \) distribuida exponencialmente con parámetro  \( \beta = 2 \).
      Derive la función de densidad de \( \textbf{C} = |L-m|  \)   donde m es una constante.
      
      Lo que intenté fue definir
        \( {\displaystyle G(c) = Pr(C\leq{c}) = Pr( |L-m| \leq c) =Pr(-c \leq L-m \leq c) = F(c+m)-F(m-c) } \) .

       Donde \( F \) es la función de probabilidad acumulada de \( L \)
      luego: \( g(c)=G'(c) = f(c+m)+f(m-c) = 2 \cdot  e^{-2 \cdot (c+m)}+2 \cdot e^{-2(c-m)}  \) pero al integrar esta última no obtengo \( 1  \), en dónde podría estar fallando? Disculpen por la redacción, usé TeXstudio y allí la presentación si es adecuada.

Corregido Juan Pablo

[Juan Pablo Sancho]

Aquí te pone como escribir \( \LaTeX \) en el foro y en general mira Aquí para ver todas las reglas.

Saludos.

[numbsoul]

En el caso \( m\leq 0 \), tenemos \( L-m>0 \) y así \( |L-m|=L-m \)

Veamos el caso \( m>0 \):

Nota que para \( c>m \), \( F(m-c)=0 \)

Por lo tanto, \( g(c)=2(e^{-2(c+m)}+e^{-2(m-c)}\mathbb{I}_{c\leq m}) \) (nota que erróneamente escribiste \( c-m \) en el exponente)

Al integrar, tenemos \( \displaystyle\int_{0}^{\infty}g(c)\;dc=2(\displaystyle\int_{0}^{\infty}e^{-2(c+m)}\;dc+\displaystyle\int_{0}^{m}e^{-2(m-c)}\;dc)=2(\dfrac{e^{-2m}}{2}+\dfrac{1}{2}-\dfrac{e^{-2m}}{2})=1 \)