[mazuro]

Hola a todos

Determinar una expresión algebraica para el volumen de un cilindro inscrito en un cono en función del ángulo de abertura ("punta del cono").

En un foro había preguntado algo similar... en función de una sola variable,


\( v=-\dfrac{H\pi}{R}x^3+H\pi\cdot x^2 \)

Bueno lo que pienso es que es un triángulo isósceles lo que se forma al trazar un plano perpendicular a la base del cono pasando por su vértice... de allí salen dos triángulos rectángulos...   y  \( \displaystyle\frac{-H}{R} \)    sería   Cotangente del ángulo de abertura? ...   

Muchas gracias, saludos.

[robinlambada]

Hola.
No entiendo bien el planteamiento, pienso que no está totalmente definido el problema. Para una abertura dada hay infinitos cilindros inscritos de diferentes alturas cada uno ( al menos así lo veo yo).

Saludos.

[ingmarov]

Hola

Creo que para que esto sea posible se debe fijar la altura del cono y el radio del cilindro. No se debe olvidar las restricciones del ángulo a causa del radio fijo del cilindro.

Saludos

[mazuro]

Hola, muchas gracias.

Bueno, adjunto el archivo en Geogebra de lo que hice con respecto al ángulo y veo que lo único que no se modifica es el radio del cilindro, y creo que la altura del cono sin mover el  punto A... mi pregunta es expresar algebraicamente el volumen del cilindro inscrito en un cono en función del ángulo...  o eso no es posible?? 

Muchas gracias, saludos.

[ingmarov]

Claro que es posible

Si
x es el ángulo del cono (variable)
H la altura del cono  (constante)
r el radio del cilindro (constante)
h altura del cilindro

Puedes dibujar los puntos de estas formas en el plano yz por ejemplo y llegar a que

h=-tan(pi-x/2).r+H   (Esta puedes verla como la ecuación de una recta con pendiente -tan(pi-x/2) aunque no lo es porque esta pendiente es variable)

Y con eso es sencillo calcular el volumen

[mazuro]

Hola, muchas gracias, como siempre.

Luego el volumen es v(x)=PI*(r^2)*(-tan(PI-x/2)*r+H)   si?

Bueno... no logro entender de dónde sale tan(PI-(x/2))

Podrías explicarme?


Muchas gracias, saludos.

[ingmarov]

Revisa este dibujo

[mazuro]

Muchas gracias, entiendo 

Bueno, reemplazando para

(1)  V=PI*r^2(-(H/R)*r + H)      r  es el único variable

(2)  V=PI*r^2(-(tan(PI-(x/2))*r )+ H )      x es el único variable

r: radio del cilindro
x: ángulo de abertura del cono
H: altura del cono
R: radio del cono

Si reemplazo

r=6.7
x=90.5°

H=10
R=10

Me sale en (1)  465 unidades cúbicas aproximadamente

Me sale en (2)  2224 unidades cúbicas aproximadamente

   no sé si lo que hago está bien...

Muchas gracias, saludos