[JorgeFC]

Me dicen que f(0,0)=(0,0); f(0,1)=(1,1); f(1,1)=(2,1); f(1,0)=(1,0) y tengo que ver si es isomorfismo, si es único y en caso afirmativo describirlo geométricamente diciendo si es una semenjanza, una isometría o ninguna de las dos.

¿Cómo puedo hacerlo?

[Weip]

\( f \) tendrá una matriz asociada \( M \) que habrá que encontrar. Pon incógnitas en las componentes (a, b, c...) e impón las relaciones que te da el enunciado: \( M(0, 0)^t=(0, 0)^t \), \( M(0, 1)^t=(1, 1)^t \)... (la t es por traspuesto, fíjate que para multiplicar la matriz por el vector el vector ha de ser columna). Haciendo esto irás obteniendo un sistema de ecuaciones y resolviéndolo obtendrás la matriz de \( f \). A partir de aquí es fácil responder las preguntas que te hacen. Si por ejemplo te queda la matriz con un parámetro entonces no será única, etc.

Espero haberte ayudado.

[JorgeFC]

\( f \) tendrá una matriz asociada \( M \) que habrá que encontrar. Pon incógnitas en las componentes (a, b, c...) e impón las relaciones que te da el enunciado: \( M(0, 0)^t=(0, 0)^t \), \( M(0, 1)^t=(1, 1)^t \)... (la t es por traspuesto, fíjate que para multiplicar la matriz por el vector el vector ha de ser columna). Haciendo esto irás obteniendo un sistema de ecuaciones y resolviéndolo obtendrás la matriz de \( f \). A partir de aquí es fácil responder las preguntas que te hacen. Si por ejemplo te queda la matriz con un parámetro entonces no será única, etc.

Espero haberte ayudado.

¿En caso de que sea una semejanza cómo ha de quedarme la matriz?

Muchas gracias por la ayuda

[energy]

has de darte cuenta que al ser \( f(0)=0 \) es una aplicación lineal, luego te están dando las imágenes de \( e_1,e_2 \) luego la matriz tendrá como columnas las imágenes de los vectores de la base canónica, la Matriz pedida es:

\( \begin{bmatrix}{1}&{1}\\{0}&{1}\end{bmatrix} \) es isomorfismo por tener determinante no nulo en cualquier cuerpo, y además no es una isometría porque A A^t no es la identidad, puedescomprobar que f(1,1)=(2,1) luego es único...sigue

[JorgeFC]

has de darte cuenta que al ser \( f(0)=0 \) es una aplicación lineal, luego te están dando las imágenes de \( e_1,e_2 \) luego la matriz tendrá como columnas las imágenes de los vectores de la base canónica, la Matriz pedida es:

\( \begin{bmatrix}{1}&{1}\\{0}&{1}\end{bmatrix} \) es isomorfismo por tener determinante no nulo en cualquier cuerpo, y además no es una isometría porque A A^t no es la identidad, puedescomprobar que f(1,1)=(2,1) luego es único...sigue

Sí, sí, eso ya lo tengo.
Mi pregunta era porque el ejercicio tiene otros apartados con otros conjuntos distintos. En cualquier caso, ¿para ver si es semejanza habría que ver si la matriz es composición de una isometría con una homotecia, no?

[energy]

Vale, entonces tenemos que si es composición el determinante de las dos matrices tiene que ser igual a 1, luego las matrices que buscas tienen determinante 1 o -1 ambas, luego podría ser una homotecia de razón 1 que es la identidad, pero claro, entonces no podría ser isometría ya que las únicas homotecias con razon +-1 tienen inversa, luego si lo pones como composición de dos aplicaciones lineales y multiplicas por la inversa de la homotecia tienes que la matriz de la isometría sería la que te dan o:

\( \begin{bmatrix}{-1}&{-1}\\{0}&{-1}\end{bmatrix} \)

que tampoco es una isometría, luego no es semejanza