Hola
Demostrar la siguiente propiedad sin "recurrir a la existencia"... 
Si \( x\in{F} \) , \( x\neq{0} \) entonces el inverso multiplicativo de \( x \) es único. \( F \) es un campo.
Lo que hice
\( x\in{F} \) , \( x\neq{0} \) entonces el elemento \( v\in{F} \) tal que \( xv=1 \) es único.
\( xv=1 \)
\( xv'=1 \) entonces \( xv=xv'\Rightarrow{v=v'} \) por cancelativa de producto.
Está bien si previamente tienes demostrada la cancelativa del producto; ésta se demuestra usando precisamente la existencia de neutro así que sería bueno dar un pequeño rodeo para completar la demostración (aunque la idea es la misma).
Supones que hay dos neutros, es decir, dos elementos \( v,v' \) verificando:
\( xv=vx=xv'=v'x=1 \)
Entonces como dices:
\( xv=xv' \)
Multiplicando a ambos lados por \( v \):
\( vxv=vxv'\quad \Rightarrow{}\quad 1v=1v'\quad \Rightarrow{}\quad v=v' \)
Saludos.
