[alejma]

¿Cuántos números naturales de tres cifras con 0 decenas dan lugar a un cuadrado perfecto cuando se suman con el mismo número invertido?

Gracias! Saludos!

[Luis Fuentes]

Hola

¿Cuántos números naturales de tres cifras con 0 decenas dan lugar a un cuadrado perfecto cuando se suman con el mismo número invertido?

Gracias! Saludos!

Con 0 decenas entiendo que se refiere a números de la forma \( \overline{a0b}=100a+b \). Entonces:

\( \overline{a0b}+\overline{b0a}=100a+b+100b+a=101(a+b) \)

Para que fuese cuadrado perfecto debería de ocurrir que \( 101(a+b)=n^2 \). Pero \( 101 \) es primo. ¿Conclusión?.

Saludos.

[poolnikov]

Hola:

Mi solución:
Edito: "el_manco" me has adelantado.

Spoiler

Sea \( \overline{a0b} \) el número buscado, tal que al sumarle con \( \overline{b0a} \) nos da un cuadrado perfecto. Tendremos:
\( \overline{a0b}+\overline{b0a}=N^2\Rightarrow{}(10^2a+b)+(10^2b+a)=10^2(a+b)+(a+b)=101\cdot{}(a+b)=N^2 \)

Como 101 es primo deberá dividir de forma exacta a \( N^2 \).

Además \( N^2 \) estará comprendido entre (mínimo a+b=2 y máximo a+b=18) \( 202\leq{}N^2\leq{}1818 \) y es un múltiplo de 101, por lo tanto los posibles valores para \( N^2={202, 303, 404, \ldots, 1818} \)

De estos posibles valores solamente me sirven los cuadrados perfectos, que son: ....."ninguno"

Por lo tanto la solución será 0.

[cerrar]

Saludos

[Luis Fuentes]

Hola

Un comentario sobre la solución de poolnikov.

Spoiler

\( \overline{a0b}+\overline{b0a}=N^2\Rightarrow{}(10^2a+b)+(10^2b+a)=10^2(a+b)+(a+b)=101\cdot{}(a+b)=N^2 \)

Como 101 es primo deberá dividir de forma exacta a \( N^2 \).

Además \( N^2 \) estará comprendido entre (mínimo a+b=2 y máximo a+b=18) \( \color{red}202\leq{}N^2\leq{}1818\color{nlack} \) y es un múltiplo de 101, por lo tanto los posibles valores para \( \color{red}N^2={202, 303, 404, \ldots, 1818}\color{black} \)

Cuando escribes lo que he marcado en rojo pareciera que la solución del ejercicio requiere alguna suerte de tanteo o comprobación exhaustiva de casos. Pero no es necesario.

Directamente si \( 101\cdot{}(a+b)=N^2 \), por ser \( 101 \) primo entonces \( N \) es múltiplo de \( 101 \) y así \( a+b=N^2/101>101 \). Pero eso es imposible porque \( a+b\leq 9+9=18 \).

[cerrar]

Saludos.

[poolnikov]

Hola

Un comentario sobre la solución de poolnikov.

Spoiler

\( \overline{a0b}+\overline{b0a}=N^2\Rightarrow{}(10^2a+b)+(10^2b+a)=10^2(a+b)+(a+b)=101\cdot{}(a+b)=N^2 \)

Como 101 es primo deberá dividir de forma exacta a \( N^2 \).

Además \( N^2 \) estará comprendido entre (mínimo a+b=2 y máximo a+b=18) \( \color{red}202\leq{}N^2\leq{}1818\color{nlack} \) y es un múltiplo de 101, por lo tanto los posibles valores para \( \color{red}N^2={202, 303, 404, \ldots, 1818}\color{black} \)

Cuando escribes lo que he marcado en rojo pareciera que la solución del ejercicio requiere alguna suerte de tanteo o comprobación exhaustiva de casos. Pero no es necesario.

Directamente si \( 101\cdot{}(a+b)=N^2 \), por ser \( 101 \) primo entonces \( N \) es múltiplo de \( 101 \) y así \( a+b=N^2/101>101 \). Pero eso es imposible porque \( a+b\leq 9+9=18 \).

[cerrar]

Saludos.

Hola.

Gracias el_manco.
Para mi fue necesario, en principio, hacer todo eso, no me di cuenta de que no hacia falta como bien indicas.

Saludos