"Consideramos el plano afín \( \mathbb{B} \) de \( \mathbb{A}_{\mathbb{R}^3} \) de ecuación implícita x+y+z=2 y la recta vectorial r=L[(1,1,0)] de \( \mathbb{R}^3 \). Dar las ecuaciones respecto a la referencia cartesiana canónica de las aplicaciones siguientes:
i) la proyección sobre \( \mathbb{B} \) con dirección r;
ii) la simetría respecto de \( \mathbb{B} \) con dirección r;
iii) la dilatación con base \( \mathbb{B} \) , dirección r y razón 3. "
He tomado un punto P=(x,y,z). La proyección vendría determinada por \( P+\lambda \overrightarrow{r} \) quedándome \( (x',y',z')=(x+\lambda , y+\lambda , z) \). Sustituyendo en la ecuación del plano: \( \lambda = 1 - x/2 - y/2 - z/2 \). De esta manera:
i) \( f(x,y,z)=(x/2 - y/2 - z/2 +1, y/2 - x/2 - z/2 +1, z) \)
ii) Para la simetría, he tomado la misma idea: \( P+2 \lambda \overrightarrow{r} \), siendo el valor de \( \lambda \) el calculado anteriormente, de tal forma que \( h(x,y,z)=(2-y-z,2-x-z,z) \).
iii) Dado que la dilatación es la proyección menos la razón multiplicada por el vector que forman el punto P y su proyectado, obtengo que \( g(x,y,z)=(2x+y+z-2,2y+x+z-2,z) \)
¿Es esta la forma de calcular las ecuaciones de este tipo de aplicaciones?
