[nmoralesa]

NO LOGRO ESCRIBIRLO CON EL FORMATO INDICADO. ADJUNTO UNA IMAGEN DEL PROCEDIMIENTO

El problema consiste en escribir la siguiente integral como serie de potencias:
\(  \displaystyle\int_a^b \dfrac{x-arctan(x)}{x^3} \ dx  \)

Separé la integral en dos partes.
Para la primera parte la integré como \( \dfrac{1}{x^2}  \) y me dio como resultado \( \dfrac{-1}{x} + c  \)
Para la segunda parte, escribí arctan como su derivada, \( \dfrac{1}{1+x^2}  \), para escribirlo como serie de potencias:
\(  \displaystyle\sum_{i=0}^{+ \infty}(-1) ^i \cdot  x^{2\cdot i}  \)
Posteriormente la volví a integrar para obtener la serie de arctan y me dio como resultado:
\(  \displaystyle\sum_{i=0}^{+ \infty} \dfrac{x^{2i-2}}{2i+1}  \)

Desde este punto no se cómo seguir, ni cómo escribir el radio de convergencia . Agradecería sugerencias.

Editado por moderador (Juan Pablo)
Pincha en las fórmulas para que te salga el código

[Juan Pablo Sancho]

Editado

La formula quedaría:

\( \displaystyle \int_0^x \dfrac{dt}{1+t^2}  \)

[tex]\displaystyle \int_0^x \dfrac{dt}{1+t^2}  [/tex]

[Abdulai]

Casi correcto, te comiste que en el resultado la sumatoria no empieza en \( i=0 \) sino \( i=1 \) y el signo es alternado.

\(  \displaystyle\sum_{i=1}^{+ \infty}(-1)^{i-1} \dfrac{x^{2i-2}}{2i+1} = \displaystyle\sum_{i=0}^{+ \infty}(-1)^i \dfrac{x^{2i}}{2i+3}  \)

[Raúl Aparicio Bustillo]

¿Qué pintan los límites de integración a y b? Entonces sería una serie de potencias no en x, sino a y en b. En x sería si fuera la integral indefinida. Sino la integral es función de a y b, obviamente no habría que sustituir la x por b en la expresión y luego restarle a. Yo creo que esos límites sobran, o están para pillar, o no están en el enunciado original

[feriva]

¿Qué pintan los límites de integración a y b? Entonces sería una serie de potencias no en x, sino a y en b. En x sería si fuera la integral indefinida. Sino la integral es función de a y b, obviamente no habría que sustituir la x por b en la expresión y luego restarle a. Yo creo que esos límites sobran, o están para pillar, o no están en el enunciado original

No veo nada raro, es el dominio, "x" va desde "a" hasta "b"

[Raúl Aparicio Bustillo]

No te quiero quitar la razón, Feriva, a lo mejor soy yo el que hierra, pero una serie de potencias formalmente es el limite de un sumatorio de funciones, aquí las representamos como es la forma normal de trabajar en cáculo con variables. Entonces parece que la serie es con x, pero viendo el enunciado, parece como que quisieran  una serie con 2 variables. De todas formas, hacer eso es sencilla. Si alguien quiere la solución al planteamiento de mi versión, sea bienvenido

[feriva]

No te quiero quitar la razón, Feriva, a lo mejor soy yo el que hierra, pero una serie de potencias formalmente es el limite de un sumatorio de funciones, aquí las representamos como es la forma normal de trabajar en cáculo con variables. Entonces parece que la serie es con x, pero viendo el enunciado, parece como que quisieran  una serie con 2 variables. De todas formas, hacer eso es sencilla. Si alguien quiere la solución al planteamiento de mi versión, sea bienvenido

Yo entiendo que dentro de la integral tenemos una f(x) la cual se transforma en una serie usando Taylor o lo que sea; entonces el que luego la integral sea definida o indefinida es aparte; se puede hacer ya sea una cosa u otra. Es lo que creo, pero también tengo que decir que hace lustros que no hago una integral, puede que no sea así.