[EstrellaANM]

Buenas:

No se me ocurre por dónde atacar el siguiente ejercicio, y me gustaría pedir vuestro consejo:

Spoiler

Demostrar que si:
a) \( 0\leq{x}<y \), entonces \( x^n<y^n \)
b)\( x<y \) y n es impar, entonces \( x^n<y^n \)
c)\( x^n=y^n \) y n es impar, entonces \( x=y \)
d)\( x^n=y^n \) y n es par, entonces \( x=y \) o \(  x=-y \)

[cerrar]

He pensado en dividir por casos cada apartado, según sean positivos o negativos los miembros de las igualdades o desigualdades. ¿Qué se os ocurre a vosotros?

[Tanius]

Usa que

\( y^n - x^n = (y-x)(y^{n-1} + y^{n-2} x + ... + y x^{n-2} + x^{n-1}) \)

Así pues, por ejemplo, si \( 0\le x < y  \) entonces \( y-x>0 \) y debería ser claro que por la expresión de arriba, \( y^n - x^n>0 \).

[EstrellaANM]

Perfecto, gracias por la aclaración.