[Eladio]

Como todos sabemos, a igual perímetro el cuadrado es el rectángulo de mayor área.

Me pregunto si es posible demostrar esta propiedad por métodos algebraicos. (Quiero decir sin recurrir a la derivada).

Algo así:

Sean dos rectángulos con base y altura a, b y c, d respectivamente

si a + b = c + d; a - b = 0; c - d \( \neq{0 \)

entonces a * b > c * d

¿Se puede?

Saludos

[ingmarov]

Hola Eladio

Si tenemos un rectángulo de axb su perímetro será  P=2a+2b   Definiendo P como constante tenemos que: \( b=\dfrac{P}{2}-a \)

Ahora el área de este rectágulo en función de a será:  \( A=a(\dfrac{P}{2}-a)=-a^2+\dfrac{P}{2}a \)    que es una parábola cóncava hacia abajo, por lo que su vértice será su punto máximo.

\( a=\dfrac{-P/2}{-2}=\dfrac{P}{4} \)     Así que el área será máxima cuando a sea un cuarto del perímetro. Si sustituímos ese valor de "a" en la fórmula que nos da "b" tenemos

\( b=\dfrac{P}{2}-a=\dfrac{P}{2}-\dfrac{P}{4}=\dfrac{P}{4} \)


Y por tanto a=b

[Eladio]

Gracias, Ingmarov.

Pero lo que yo pregunté es si es posible demostrar la propiedad sin recurrir al cálculo del mínimo o máximo de una función, que es lo que hiciste.

Aun no sé si se puede, pero intuyo que tal vez podría demostrarse utilizando desigualdades.

Saludos.

[ingmarov]

...
Me pregunto si es posible demostrar esta propiedad por métodos algebraicos. (Quiero decir sin recurrir a la derivada).

Algo así:

Sean dos rectángulos con base y altura a, b y c, d respectivamente

si a + b = c + d; a - b = 0; c - d \( \neq{0 \)

entonces a * b > c * d

...

a=b

\( a+b=2a=c+d \)

\( a\cdot b=a^2=\left(\dfrac{c+d}{2}\right)^2=\dfrac{c^2+2cd+d^2}{4} \)



\( \dfrac{c^2+2cd+d^2}{4}>cd \)

\( c^2+2cd+d^2>4cd \)

\( c^2-2cd+d^2>0 \)

\( (c-d)^2>0 \)     Siempre que c-d sea diferente de cero se cumplirá la desigualdad ab>cd



Revísalo

[Michel]

Pista para otra demostración.

Sean el rectángulo de dimensiones a y b, y el cuadrado de lado x, ambos del mismo perímetro.

Los dos polígonos tienen común el rectángulo sombreado.

Comparar las áreas M y N y deducir la solución.

[robinlambada]

Hola también se puede demostrar aplicando la desigualdad que afirma que la media aritmética es mayor o igual que la geométrica.

Yo en el enlace lo ha hecho al revés( el primer mensaje). He "demostrado" la desigualdad partiendo del que el cuadrado tiene máxima área. Pero se haría de forma análoga si partimos de la desigualdad y suponemos que a y b son lados de un rectángulo, la igualdad se da si a=b, es decir si se trata de un cuadrado.

http://rinconmatematico.com/foros/index.php?topic=83798.0

Saludos.

[feriva]

Del dibujo de Michel se deduce que para que el rectángulo tenga el mismo perímetro que el cuadrado ha de tener un lado más largo que el del cuadrado y otro más corto, de manera que si el lado del cuadrado es “a”, el lado largo del rectángulo será \( a+c \) y el lado corto \( a-c \), de donde es casi inmediato que el área siempre es menor

\( (a+c)(a-c)= a^2 - c^2<a^2 \)

(si no me equivoco en algo)

había puesto una "b" en una una "c", ya está cambiado

[Eladio]

Es la demostración simple que buscaba.

Muchas gracias a todos.