Hola, ¿alguien me puede ayudar a probar la doble implicación de este lema? Gracias de antemano.
Si \( X_n \) es \( AN(\mu_n,\sigma_{n}^2) \), entonces también \( X_n \) es \( AN(\widetilde{\mu}_n,\widetilde{\sigma}_{n}^2) \) si y solo si
\( \frac{\widetilde{\sigma}}{\sigma}\longrightarrow{1} \) y \( \frac{\widetilde{\mu}_n-\mu_n}{\sigma_n}\longrightarrow{0} \).
Donde AN denota Normalidad Asintótica. Por aclarar, una secuencia \( \left\{{X_n}\right\} \) de variables aleatorias es asintóticamente normal (\( X_n \) es \( AN(\mu_n,\sigma_{n}^2) \)) con media \( \mu_n \) y varianza \( \sigma_{n}^2 \)(>0) si para todo \( n \) suficientemente grande tenemos:
\( \frac{X_n-\mu_n}{\sigma_n}\xrightarrow[{dist}]{}N(0,1) \)
