[rmcmath]

Hola ¿Alguien me puede ayudar a probar esta propiedad? Viene en casi todos los libros de probabilidad pero ninguno la prueba.

Si \( X_{n}\longrightarrow X \) converge en probabilidad y \( Y_{n}\longrightarrow Y \) converge en probabilidad entonces \( X_{n}±Y_{n}\longrightarrow X\pm Y \) y \( X_{n}Y_{n}\longrightarrow XY \) también convergen en probabilidad.

Gracias. 

[Héctor Manuel]

Para la suma, sea \( \epsilon>0 \).

Observa que \( \{\omega||X_n+Y_n-X-Y|>\epsilon\}\subseteq\{\omega||X_n-X|+|Y_n-Y|>\epsilon\} \) (consecuencia de la desigualdad del triángulo para el valor absoluto). Luego,

\( \matbrm{P}(|X_n-X|+|Y_n-Y|>\epsilon)\ge\mathrm{P}(|X_n+Y_n-X-Y|>\epsilon) \)...(*)

Por otra parte
\( \{\omega||X_n-X|+|Y_n-Y|>\epsilon\}\subseteq\{\omega||X_n-X|>\epsilon/2\}\bigcup\{\omega||Y_n-Y|>\epsilon/2\} \)...(**)

En efecto: Sea \( \omega \) en el conjunto del lado izquierdo. Entonces \( |X_n(\omega)-X(\omega)|+|Y(\omega)_n-Y(\omega)|>\epsilon \). Si \( \omega \) no está en la unión del lado derecho de (**), entonces \( |X_n(\omega)-X(\omega)|\le\epsilon/2 y |Y_n(\omega)-Y(\omega)|\le\epsilon/2 \). Sumando estas dos llegamos a una contradicción. Esto muestra (**).

Así, de (*), (**) y la subaditividad de la medida de probabilidad:
\( \begin{eqnarray*}
\mathrm{P}(|X_n+Y_n-X-Y|>\epsilon)&\le&\matbrm{P}(|X_n-X|+|Y_n-Y|>\epsilon)\\
&\le&\mathrm{P}(\{|X_n-X|>\epsilon/2\}\bigcup\{\omega||Y_n-Y|>\epsilon/2\})\\
&\le&\mathrm{P}(|X_n-X|>\epsilon/2)+\mathrm{P}(|Y_n-Y|>\epsilon/2)
\begin{eqnarray*}
 \)

Basta ahora con hacer \( n\to\infty \) para concluir.

Para el producto, aquí tienes muchas opciones: http://math.stackexchange.com/questions/339124/convergence-in-probability-of-the-product-of-two-random-variables

Saludos.