[mazuro]

Hola a todos

Demostrar que \( f:\mathbb{R}\rightarrow{(-1,1)} \)    es sobreyectiva.
                       \( f(x)=\displaystyle\frac{x}{1+\left |{x}\right |} \)

Lo que he hecho

Sea \( y\in{(-1,1)} \)  genérico, entonces \( \exists{x}\in{\mathbb{R}}:f(x)=y\Leftrightarrow{\exists{x}\in{\mathbb{R}}:y=\displaystyle\frac{x}{1+\left |{x}\right |}} \)

Como \( y\in{(-1,1)} \), luego \( y=x-y\left |{x}\right | \). Si \( x\geq{0}\Rightarrow{x=\displaystyle\frac{y}{1-y}}\in{\mathbb{R}} \)

Esta es una solución, y lo mismo con \( x<0 \)   péro se llega  a \( x=\displaystyle\frac{y}{1+y}\in{\mathbb{R}} \)

  

Muchas gracias saludos.

[robinlambada]

Debes distinguir 2 casos.

\( y\in{}(-1,0)\Longrightarrow{}x<0 \)

\( y\in{}[0,1)\Longrightarrow{}x\geq{}0 \)


en ambos casos obtienes:  \( x=\displaystyle\frac{y}{1-|y|}}\in{\mathbb{R}} \) si \( y\in{(-1,1)} \)

Saludos.

[mazuro]

Hola

Sería cuando  \( y\in{}(-1,0)\Longrightarrow{}x<0 \)  luego   \( x=\displaystyle\frac{y}{1+y} \)

cuando \( y\in{}[0,1)\Longrightarrow{}x\geq{}0 \)   luego  \( x=\displaystyle\frac{y}{1-y} \)

entonces por los dos casos  \( x=\displaystyle\frac{y}{1-\left |{y}\right |}\in{\mathbb{\mathbb{R}}} \)  si  \( y\in{(-1,1)} \)

Sí?

Muchas gracias saludos.

[robinlambada]

Correcto.

Saludos.

[mazuro]

Muchas gracias