Encuentra el interior, frontera, exterior, cierre y conjunto derivado del conjunto A en cada uno de los siguientes casos. Determina además si A es abierto, cerrado, compacto, conexo y/o convexo.
\( a) A= \{ x\in{}\mathbb{R}:x=\displaystyle{n \over n+1},n\in{}N \} \) .
\( b) A=\{(x,y)\in{}\mathbb{R}^2:x=\displaystyle{1 \over n},n\in{}N,y\in{}]0,1[\} \).
\( c) A=\{(x,y)\in{}\mathbb{R}^2:|x|-|y|\leq{}3\} \).
\( d) A=\{(x,y)\in{}\mathbb{R}^2:|x|+|y|\leq{}1}\cup{}{(1+1/n,0):n\in{}N\} \).
\( e) A=\{(x,y,z)\in{}\mathbb{R}^3:z^2-\displaystyle{x^2 \over 4}-y^2\geq{}1\} \).
\( f)A=\{(x,y,z)\in{}\mathbb{R}^3:x^2+y^2\leq{}1\} \).
\( g) A=\{(x,y,z)\in{}\mathbb{R}^3:z^2=x^2+y^2\} \).
\( h) A=\{(x,y)\in{}\mathbb{R}^2:x=\displaystyle{1 \over n}, n\in{}N,y\in{}[0,1]\} \).
\( i) A=\{(x,y,z)\in{}\mathbb{R}^3:x+y+z=0, x^2+y^2+z^2=1,z\in{}[0,3]\} \).
Mi problema es que acabo de empezar a cursar algunas asignaturas y los profesores no se molestan en poner ejemplos de nada. Por ejemplo,me han mandado este ejercicio sin haber explicado esto y no debe ser muy complicado, pero es que la información sobre estos temas, es escasa. Si alguien puede realizar algún apartado explicando los pasos a seguir para que yo pueda hacer el resto, lo agradecería.
También, agradecería si me proporcionan alguna página con ejercicios resueltos que me hagan comprender los temas. Por ejemplo, me piden que cojamos un espacio y:
1. Calcular las bolas en espacios métricos.
2. Calcular el interior, la clausura, la frontera y los puntos de acumulación
de subespacios de espacios métricos.
3. Estudiar la convergencia de sucesiones en espacios métricos.
4. Estudiar sucesiones de Cauchy en espacios métricos.
5. Estudiar la continuidad de funciones en espacios métricos.
GRACIAS.
