Hola
Te voy a dar una pista,
Escribe las inecuaciones de las \( {x_i}_ {i=1,..,4} \) como \( x_{i}-n\geq{0} \) (\( n \in \mathbb{N} \)), representa gráficamente estas rectas, el espacio que queda en la intersección de todas ellas es donde se pueden hallar las soluciones, intenta pensar como continuar ahora 
Un saludo
No acabo de entender muy bien la sugerencia. ¿Exactamente qué rectas? ¿Quien juega el papel de abcisas y quien de ordenadas?.
Encuentre el numero de soluciones en los naturales de la ecuación \( x_1+x_2+x_3+x_4=20 \) tal que satisfagan que: \( 1\le x_1\le 6, 1\le x_2\le 7,3\le x_3\le 9 , 4\le x_4\le 11 \)
Para resolver este tipo de ejercicios tienes que saber que el número de soluciones enteras no negativas de una ecuación:
\( x_1+x_2+\ldots+x_k=N \)
es
\( CR_{k,N}=\displaystyle\binom{N+k-1}{N} \)
Si añades una restricción del tipo \( x_1\geq a \), haces el cambio \( y_1=x_1-a \) y el problema equivale a hallar el número de soluciones enteras no negativas de la ecuación:
\( y_1+x_2+\ldots+x_k=N-a \)
En tu caso, comienza haciendo el cambio:
\( y_1=x_1-1,\quad x_2=y_2-1,\quad x_3=y_3-3,\quad x_4=x_4-4 \)
Con lo cual el problem equivale a hallar las soluciones enteras de la ecuación:
\( y_1+y_2+y_3+y_4=20-1-1-3-4=11 \)
con las restricciones \( y_1\leq 5,\quad y_2\leq 6,\quad x_3\leq 6,\quad x_4\leq 11 \).
Ahora para ello halla todas las soluciones enteras no negativa y réstales aquellas en las que la variable \( y_1\geq 6 \); luego aquellas en las que \( y_2\geq 7 \); luego aqueelas en las que \( y_3\geq 7 \) y finalmente aquellas en las que \( y_4\geq 12 \).
Tendrás que tener en cuenta el principio de inclusión-exclusión y probablemente todavía añadir o restar aquellos casos en los que se den varias de esas condiciones combinadas.
Saludos.
