Hola
Buenas, estoy estudiando ecuaciones de recurrencia y se me pide resolver alguna no tengo problemas, pero me he encontrado con esto y no estoy seguro de como resolver. ¿Alguien podría ayudarme?
El ejercicio es el siguiente:
Se sabe que la ecuación característica de una ecuación de recurrencia de orden 3 admite la raiz 2 y tiene una raiz doble ¿Cuáles serian las soluciones de la completa si el termino independiente es (3n +2)2n?
Supongo que quisiste poner como término independiente \( (3n+2)2^n \).
Con los datos que se me dan he llegado a que la solución va a ser de la forma: \( a_n=\alpha_1 \cdot 2^n + \alpha_2 \cdot r^n + \alpha_3 \cdot n \cdot r^n + (An+B)\cdot 2^n \) siendo r la raíz doble que desconozco.
¿Puedo obtener algo más o con los datos que tengo esto es lo máximo?
Todavía podrías hallar \( A \) y \( B \) en función de \( r \), aunque las cuentas son feas.
Ten en cuenta que el polinomio característico de la ecuación es:
\( (x-2)(x-r)^2=x^3-2(r+1)x^2+(r^3+4r)x-2r^2 \)
De ahí puedes hallar la ecuación de recurrencia en función de \( r \):
\( a_{n+3}-2(r+1)a_{n+2}+(r^2+4r)a_{n+1}-2r^2=(3n+2)2^n \)
Imponiendo que \( (An+B)2^n \) cumpla la ecuación puedes hallar \( A \) y \( B \).
Saludos.
