Hola
Bienvenido al foro.
Recuerda leer y seguir las
reglas del mismo así como el
tutorial del LaTeX para escribir las fórmulas matemáticas correctamente.
Además no debes de usar imágenes para sustituir la escritura explícita del texto y fórmulas de tus preguntas.
Por otra parte el objetivo del foro no es hacer los deberes a nadie, sino ayudar a que cada uno aprenda a resolver por si mismo las cuestiones matemáticas que se le plantean. En ese sentido es bueno que no te limites a poner el enunciado y decir "no sé hacerlo", sino que indiques que has intentado y que dudas concretar te surgen.
Finalmente no debes de plantear varios problemas en un mism hilo.
He corregido tu mensaje poniendo el enunciado del primer problema. Para los demás, si tienes dudas, abre nuevos hilos siguiendo esta vez las reglas del foro.
1. Considere la sucesión \( \{x_n\}_1^\infty \) donde \( x_n=\dfrac{1\cdot 3\cdot 5\ldots \cdot (2n-1)}{2\cdot 4\cdot 6\cdo \ldots \cdot 2n} \). (El término enésimo es igual al producto de los primeros \( n \) números impares dividio entre el producto de los \( n \) primeros números pares). Determine si la sucesión converge y si lo hace calcular su límite.
(Sugerencia: \( \dfrac{2}{1}\cdot \dfrac{4}{3}\cdot \dfrac{6}{5}\cdot \ldots\cdot \dfrac{2n}{2n-1}=(1+1)\cdot (1+\dfrac{1}{3})\cdot (1+\dfrac{1}{5})\cdot \ldots \cdot (1+\dfrac{1}{2n-1}) \))
Uitiliza el siguiente resultado. Si \( \displaystyle\sum_{n=1}^\infty{}a_n^2<+\infty \) entonces la convergencia de \( \displaystyle\prod_{n=1}^\infty(1+a_n) \) equivale a la convergencia de \( \displaystyle\sum_{n=1}^\infty{}a_n \).
Otra opción es comprobar que:
\( x_n=\dfrac{(2n)!}{(n!)^24^n} \)
y aplicar la
fórmula de Stirling.
Saludos.
