Sea \( x \in{A}, como \left\{{A_i}\right\}_{i\in{I}} \) es una partición
Luego\( \exists{i\in{I}}/x\in{A_i_0}\left\{{x,x}\right\}=\left\{{x}\right\}\subseteq{A_i} \)
Lo que no me queda del todo claro es esta parte \( x\in{A_i_0}\left\{{x,x}\right\} \), entiendo lo último ¿Por qué pertenece a ello? A qué se refiere con \( A_i_0 \) al primer elemento del conjunto? ¿Cúal sería entonces? ¿\( \left\{{x}\right\} \)?.
Eso pasa por usar tantos garabatitos raros en lugar de decir las cosas claras, que luego cuestan de leer.
Lo que dice ahí, bien escrito, es:
Sea \( x\in A \). Como \( \{A_i\}_{i\in I} \) es una partición, existe un índice \( i_0\in I \) tal que \( x\in A_{i_0} \). Por lo tanto, \( \{x,x\}=\{x\}\subset A_{i_0} \), luego \( x\,R\,x \).
¿Está más claro así?
Transitividad:
\( x R y \wedge y R z \Rightarrow{} \left\{{x,y}\right\}\subseteq{A_i_0} \wedge \left\{{y,z}\right\} \subseteq{A_i_1} \Rightarrow{} A_i_0 \wedge A_i_1 \neq{\emptyset} \)
Luego \( \left\{{x,y,z}\right\}\subseteq{A_i_0}=A_i_0 \) ¿Por qué?
Luego \( \left\{{x,z}\right\}\subseteq{A_i_0} \Rightarrow{x R z} \)
Nuevamente, a la demostración le faltan algunas palabras para que pueda considerarse correcta y no una mera abreviación taquigráfica de mal gusto.
Suponemos \( x\,R\,y \) e \( y\,R\,z \) Entonces existen índices \( i_0, i_1\in I \) tales que \( \{x,y\}\subset A_{i_0} \), \( \{y,z\}\subset A_{i_1} \). Pero entonces \( y\in A_{i_0}\cap A_{i_1} \). Como \( \{A_i\}_{i\in I} \) es una partición, los conjuntos \( A_{i_0} \) y \( A_{i_1} \) tienen que ser iguales o disjuntos. Puesto que no son disjuntos, son iguales. Así, \( x,z\in A_{i_0} \), luego \( \{x,z\}\subset A_{i_0} \), luego \( x\,R\,z \).
