[EstrellaANM]

Buenas a todos:

Me gustaría plantear una pregunta sobre los números combinatorios, y es: ¿existe alguna demostración para la siguiente propiedad?

\( \displaystyle\binom{m}{n-1}+\displaystyle\binom{m}{n}=\displaystyle\binom{m+1}{n} \)

[Juan Pablo Sancho]

Una forma algebraica:

\( { \displaystyle {m \choose n-1} +  {m \choose n} = \dfrac{m!}{(n-1)! \cdot (m+1 -n)!} + \dfrac{m!}{n! \cdot (m - n)!} = \dfrac{m!}{n! \cdot (m+1-n)!} \cdot [n + (m+1-n)]= \dfrac{m!}{n! \cdot (m+1-n)!} \cdot [m+1] = {m+1\choose n}}  \)

Una forma por subconjuntos:

Si \( \displaystyle { p \choose q}  \) representa todos los subconjuntos de \(  q  \) elementos de un conjunto de \(  p  \) elementos donde \(  p \geq q \geq 0  \)

Tenemos:

Sea todos los subconjunto de \(  n  \) elementos de un conjunto de \(  m + 1 \) elementos, tomo uno al azar llamado \(  s  \) y lo quito del conjunto de \(  m + 1 \) elementos.

Hago todos los subconjuntos de \(  n  \) elementos de del conjunto de \(  m  \) elementos (que me queda al quitarle \(  s  \) al de \(  m+1 \) elementos) y habrá \( \displaystyle{m \choose n}  \) elementos, donde ningún subconjunto tendrá \(  s  \) .   

Hago todos los subconjuntos de \(  n - 1  \) elementos de del conjunto de \(  m  \) elementos (que me queda al quitarle \(  s  \) al de \(  m+1 \) elementos) y habrá \( \displaystyle{m \choose n -1 }  \) elementos y ahora a cada uno de estos subconjuntos le añado \( s  \).

Tenemos una partición del conjunto tal que \( \displaystyle {m  \choose n} + {m \choose n-1}  \) representa todos los subconjunto que se pueden hacer de \(  n  \) elementos de un conjunto de \(  m+1  \) elementos.

[feriva]

Buenas a todos:

Me gustaría plantear una pregunta sobre los números combinatorios, y es: ¿existe alguna demostración para la siguiente propiedad?

\( \displaystyle\binom{m}{n-1}+\displaystyle\binom{m}{n}=\displaystyle\binom{m+1}{n} \)

Hola, también puedes mirar en este hilo, al final de la respuesta que enlazo (no al final del hilo) en el último spoiler está la explicación que te interesa:


http://rinconmatematico.com/foros/index.php?topic=83147.msg335203#msg335203

Un saludo.

[EstrellaANM]

Muchas gracias a ambos, Juan Pablo y feriva. La primera demostración de Juan Pablo y la demostración de feriva son algebraicas pero siguen distintos caminos. Un detalle por parte de feriva mencionar la propiedad de los factoriales que utiliza en la demostración, así pude entender mejor ambas demostraciones. Por último, la demostración con conjuntos aporta otro punto de vista de cómo hacerlo.