Hola
Un saludo, el problema es el siguiente:
Bajo las tapas de yogur de una determinada marca comercial hay 6 tipos diferentes de símbolos. Bajo cada tapa hay exactamente uno, y se asume que en el mercado todos han sido distribuidos aleatoriamente de manera uniforme. ¿Cuántos yogures hay que comprar en media para tener la colección completa?
Ahora presento mi solución:
Si \( X_i\sim G(\frac 16) \) es la variable que cuenta cuántos yogures hay que abrir para encontrar el símbolo \( i, 1\le i\le 6 \), entonces \( X=\sum_{i=1}^6 X_i\sim BN(6,\frac 16) \).
Luego su esperanza es:
\( E[X]=\frac np (1-p)=\frac 6{\frac 16} \frac 56=30 \) yogures harán falta. ☺
Pero el problema es que no es cierto que \( X=\sum_{i=1}^6X_i \); es decir no es cierto que los intentos en que se tardan en sacar los seis símbolos sea la suma de los intentos que se necesitaron para sacar cada uno de los símbolos. Por ejemplo si la secuencia fue simplemente \( 123456 \), se necesitaron seis intentos para sacarlos seis símbolos; pero uno para obtener el uno; dos para obtener el dos; y así sucesivamente. En total serían:
\( 1+2+3+4+5+6=21\neq 6 \)
Solución del libro (lo hace con variables aleatorias y copio tal cual):
En general, si un símbolo determinado aparece con probabilidad \( p \) al realizar una extracción, entonces el número medio de extracciones necesario hasta que aparece por primera vez ese símbolo es: \( m = 1 \cdot p+2\cdot (1-p)\cdot p+3\cdot (1-p)^2 \cdot p+... \).
Para sumar esta serie nótese que: \( (1-p)\cdot m = (1-p)\cdot p+2\cdot(1-p)^2 \cdot p+3\cdot(1-p)^3 \cdot p+... \), y restando ambas series: \( m-(1-p)\cdot m = p\cdot \sum_{k=0}^\infty (1-p)^k = p\cdot \frac 1p = 1 \), y por tanto \( m = 1/p \).
Dicho esto, volvamos a nuestro problema original. Evidentemente, el número medio de extracciones hasta que aparezca un resultado cualquiera es 1. En el caso de dos, este número es \( 1 + \frac 1{\frac 56} = 1 + \frac 65 \), y, en general, el número medio de extracciones hasta que aparezcan \( n \) símbolos distintos (\( n = 1,...,6 \)) es \( \sum_{k=1}^n \frac 1 {\frac{6-i+1}6} \) . Por lo tanto, hay que comprar una media de \( 6\cdot (1/6+1/5+1/4+1/3+1/2+1) = 14.7 \) yogures para conseguir los seis símbolos distintos.
La idea es la siguiente.
Llama \( X_i \) al número de intentos necesarios para obtener \( i \) símbolos distintos desde que conseguimos \( i-1 \). Es decir:
\( X_1 \) sería el número de intentos necesario para obtener un símbolo. En este caso es una variable constante igual a uno.
\( X_2 \) sería el número de intentos necesarios para obtener dos símbolos diferentes contados desde que se obtuvo el primero.
\( X_3 \) sería el número de intentos necesarios para obtener tres símbolos diferentes contados desde que se obtuvieron dos diferentes.
Y así sucesivamente. Por ejemplo si la secuencia de símbolos fue 4 1 42 13 325 126 tendríamos:
\( X_1=1,\quad X_2=1,\quad X_3=2,\quad X_4=2,\quad X_5=3,\quad X_6=3 \)
En total suman los \( 12 \) intentos hasta que obtuvimos los seis símbolos diferentes.
Ahora observa que cada variable \( X_i \) es el número de experimentos de una variable de Bernoulli de probabilidad \( p_i \) necesarios para obtener un éxito. Es lo que se llama una distribución geométrica. Su media es precisamente \( 1/p_i \) (y eso es lo que prueba primero el razonamiento del libro).
Ahora observa que si han salido \( i-1 \) objetos distintos la probabilidad de que salga uno más diferente es \( p_i=\dfrac{6-(i-1)}{6}=\dfrac{7-i}{6} \).
En definitiva la esperanza pedida es:
\( E[X]=\displaystyle\sum_{i=1}^6{}E[X_i]=\displaystyle\sum_{i=1}^6\dfrac{1}{p_i}=\displaystyle\sum_{i=1}^6{6}{7-i}=\dfrac{147}{10}=14.7 \)
Saludos.
P.D. El problema es un clásico:
https://en.wikipedia.org/wiki/Coupon_collector%27s_problem
