[cristhiam]

Hola, se me ha hecho dificil resolver ejercicios consernientes a algebra lineal tengo muchos vacios y dudas, me orientan en este ejercicio.

Dadas las matrices

\( A=\begin{pmatrix}{1}&{2}&{m}\\{1}&{-1}&{-1}\end{pmatrix} \)  y \( B=\begin{pmatrix}{1}&{3}\\{m}&{0}\\{0}&{2}\end{pmatrix} \), donde m es cualquier numero real.

a) Encuentra los valores de m para los que AB tiene inversa.
b) Determina los valores de m para que la inversa de AB sea la matriz \( \begin{pmatrix}{\displaystyle\frac{-1}{3}&{\displaystyle\frac{1}{3}}\\{\displaystyle\frac{2}{3}}&{\displaystyle\frac{1}{3}}\end{pmatrix} \)
c) Calcula la matriz inversa de AB para m=1

para empezar me indican los pasos a seguir literal a) ¿como encuentro los valores de m?...... gracias por sus aportes.

[ingmarov]

Hola cristhiam

Obviamente lo primero que debes hacer es calcular AB, si ya lo hiciste escríbelo.


Esperaré tu respuesta un rato y si no, seguramente alguien más te ayudará. Es fácil si conoces la teoría.

Te añado algo importante. Las matrices inversibles tienen un determinante distinto de cero.

[cristhiam]

gracias ingmarov como siempre apoyandome en mis tareas.

espero haber hecho bien el calculo AB, obtuve una matriz 2x2


\( C=\begin{pmatrix}{2m +1}&{2m +3}\\{-m+1}&{1}\end{pmatrix} \) 

cual es el siguiente paso..

[Fernando Revilla]

cual es el siguiente paso..

Como te dijo ingmarov, obliga a que \( \det C\ne 0. \)

[ingmarov]

Por si con la explicaciones dadas aún no entiendes lo que debes hacer te dejo algo en el spoiler.

Spoiler

Calcula el determinante de la matriz C, obtendrás un polinomio de m de grado 2, ese polinomio lo debes igualar a cero. Y te faltará aplicar la cuadrática para encontrar los valores de m que anulan el determinante. Para esos valores de m la matriz C será no inversible

[cerrar]

[cristhiam]

Spoiler

     

calculo AB, obtuve una matriz 2x2

\( C=\begin{pmatrix}{2m +1}&{2m +3}\\{-m+1}&{1}\end{pmatrix} \) 

[cerrar]

continuando con las indicaciones dadas...
Hallando el determinante de la matriz C:
\( (2m +1) -(2m+3)(-m+1) =  (2m +1) -(-2m^2 +2m -3m +3)  = \\
2m +1 -(-2m^2 -m +3) = 2m +1 +2m^2 +m -3 ==> \det C=2m^2 +3m -2= \)
\( 2m^2 +3m -2 =0 \) <== igualando a 0

Encontrar valores de \( m \) que anulan el determinante:
según determinante obtenido:  \( a=2   \qquad   b=3   \qquad   c=-2 \)
aplicamos la cuadratica:
\( m=\displaystyle\frac{-b\frac{+}&{-}\sqrt[ ]{b^2 -4ac}}{2a} \)  =
\( m=\displaystyle\frac{-3\frac{+}&{-}\sqrt[ ]{3^2 -4(2)(-2)}}{2(2)} \)  =
......obtenemos: \( \displaystyle\frac{1}{2} , -2 \) (Para estos valores de m la matriz C será no inversible)

entonces para \( \det C\ne 0 \), debe cumplirse que:
\( m\ne \displaystyle\frac{1}{2} y -2 \)

estaria culminado el inciso a?
..ahora me guian con el inciso b?

b) Determina los valores de m para que la inversa de AB sea la matriz \( \begin{pmatrix}{\displaystyle\frac{-1}{3}&{\displaystyle\frac{1}{3}}\\{\displaystyle\frac{2}{3}}&{\displaystyle\frac{1}{3}}\end{pmatrix} \)

..creo que en parte ya esta hecho.

[ingmarov]

...

b) Determina los valores de m para que la inversa de AB sea la matriz \( \begin{pmatrix}{\displaystyle\frac{-1}{3}&{\displaystyle\frac{1}{3}}\\{\displaystyle\frac{2}{3}}&{\displaystyle\frac{1}{3}}\end{pmatrix} \)

..creo que en parte ya esta hecho.

Calcular la inversa de una matriz de 2x2 es muy fácil. Si tienes la matriz \( A=\begin{bmatrix}{a}&{b}\\{c}&{d}\end{bmatrix} \), su inversa será.

\( A^{-1}=\dfrac{1}{det(A)}\begin{bmatrix}{d}&{-b}\\{-c}&{a}\end{bmatrix} \)


Puedes ver la fórmula en el siguiente enlace:  http://facultad.bayamon.inter.edu/ntoro/La%20Inversa%20de%20una%20Matriz%20Cuadrada.htm

[cristhiam]

Spoiler

...

b) Determina los valores de m para que la inversa de AB sea la matriz \( \begin{pmatrix}{\displaystyle\frac{-1}{3}&{\displaystyle\frac{1}{3}}\\{\displaystyle\frac{2}{3}}&{\displaystyle\frac{1}{3}}\end{pmatrix} \)

..creo que en parte ya esta hecho.

esta correcto? .... si es asi ahora como hago el inciso c) Calcula la matriz inversa de AB para m=1



Calcular la inversa de una matriz de 2x2 es muy fácil. Si tienes la matriz \( A=\begin{bmatrix}{a}&{b}\\{c}&{d}\end{bmatrix} \), su inversa será.

\( A^{-1}=\dfrac{1}{det(A)}\begin{bmatrix}{d}&{-b}\\{-c}&{a}\end{bmatrix} \)


Puedes ver la fórmula en el siguiente enlace:  http://facultad.bayamon.inter.edu/ntoro/La%20Inversa%20de%20una%20Matriz%20Cuadrada.htm

[cerrar]

lo hice de esta manera:

\( A=\begin{pmatrix}{1}&{2}\\{1}&{-1}\end{pmatrix} \)

\( det(A)=\begin{bmatrix}{1}&{2}\\{1}&{-1}\end{bmatrix} = -1 -2 = -3 \)

\( \displaystyle\frac{1}{-3}\begin{bmatrix}{-1}&{-2}\\{-1}&{1}\end{bmatrix}= \)

\( \begin{bmatrix}{\displaystyle\frac{-1}{-3}}&{\displaystyle\frac{-2}{-3}}\\{\displaystyle\frac{-1}{-3}}&{\displaystyle\frac{1}{-3}}\end{bmatrix}=\\  \)

\( A^{-1}= \begin{bmatrix}{\displaystyle\frac{1}{3}}&{\displaystyle\frac{2}{3}}\\{\displaystyle\frac{1}{3}}&{\displaystyle\frac{1}{-3}}\end{bmatrix} \)

esta correcto?   ... si es asi como hago el inciso que falta: c) Calcula la matriz inversa de AB para m=1 

[ingmarov]

Creo que para el inciso b) era bueno que usaras \( \boxed{inv(inv(A))=A} \)


Entonces si \( \displaystyle inv(AB)=\begin{pmatrix}{\dfrac{-1}{3}&{\dfrac{1}{3}}\\{\dfrac{2}{3}}&{\dfrac{1}{3}}\end{pmatrix} \)


\( det(inv(AB))=-\dfrac{1}{9}-\dfrac{2}{9}=-\dfrac{1}{3} \)


y


\( (AB)=inv(inv(AB))=-3\begin{pmatrix}{\dfrac{1}{3}&{-\dfrac{1}{3}}\\{-\dfrac{2}{3}}&{-\dfrac{1}{3}}\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}{-1}&{1}\\{2}&{1}\end{pmatrix} \)


Revisa bien.




Para el inciso c) sustituye m por 1 en       \( C=\begin{pmatrix}{2m +1}&{2m +3}\\{-m+1}&{1}\end{pmatrix} \)     y luego calcula su inversa.

[cristhiam]

listo revisare bien el b.

Spoiler

Creo que para el inciso b) era bueno que usaras \( \boxed{inv(inv(A))=A} \)

Entonces si \( \displaystyle inv(AB)=\begin{pmatrix}{\dfrac{-1}{3}&{\dfrac{1}{3}}\\{\dfrac{2}{3}}&{\dfrac{1}{3}}\end{pmatrix} \)

\( det(inv(AB))=-\dfrac{1}{9}-\dfrac{2}{9}=-\dfrac{1}{3} \)

y

\( (AB)=inv(inv(AB))=-3\begin{pmatrix}{\dfrac{1}{3}&{-\dfrac{1}{3}}\\{-\dfrac{2}{3}}&{-\dfrac{1}{3}}\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}{-1}&{1}\\{2}&{1}\end{pmatrix} \)

Revisa bien.

[cerrar]

En cuanto al literal C:

remplazando m=1 en:
\( C=\begin{pmatrix}{2m +1}&{2m +3}\\{-m+1}&{1}\end{pmatrix} \) 

\( C=\begin{pmatrix}{2(1) +1}&{2(1) +3}\\{-1+1}&{1}\end{pmatrix} \) ==> \( C=\begin{pmatrix}{3}&{5}\\{0}&{1}\end{pmatrix} \) 

calculando su inversa:

\( det(C)=\begin{bmatrix}{3}&{5}\\{0}&{1}\end{bmatrix} = 3 -0 = 3 \)

\( C^1=\displaystyle\frac{1}{3}\begin{bmatrix}{1}&{-5}\\{0}&{3}\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}{\displaystyle\frac{1}{3}}&{\displaystyle\frac{-5}{3}}\\{0}&{1}\end{bmatrix} \)

QUE TAL ESTA CORRECTO ESTO ULTIMO.