[victorboomdoom]

Sea \( T:\mathbb{R}^2 \longrightarrow \mathbb{R}^2 \) tal que : \( T(2,1)=(5,1) \) y \( T(1,2)=(4,5) \).
Halle \( T(B) \), sabiendo que \( T \) es lineal.

a) \( B=(3,-3) \)
b) \( B=(4,-5) \)
c) \( B=(4,-2) \)
d) \( B=(-3,5) \)

[pierrot]

Teniendo la matriz asociada a \( T \) en la base canónica, o sea, \( [T]_C \), puedes hallar \( T(x,y)=[T]_C\cdot (x,y)^T \). Llamando \( U=\{(1,2),(2,1)\} \), para calcular \( [T]_C \), puedes valerte de esta igualdad:

\( [T]_C={_C}(Id)_C\cdot {_C}(T)_U\cdot {_U}(Id)_C \)

La matriz \( {_C}(T)_U \) es la que te dan, o sea, \( \begin{bmatrix}{4}&{5}\\{5}&{1}\end{bmatrix} \), \( {_C}(Id)_C \) es la matriz identidad y para \( {_U}(Id)_C \) tienes que hallar las coordenadas de los vectores canónicos en la base \( U \). Si haces la cuenta, sería:

\( {_U}(Id)_C=\begin{bmatrix}{-1/3}&{2/3}\\{2/3}&{-1/3}\end{bmatrix} \)

con lo cual ahora sólo resta hacer una multiplicación de matrices, hallar \( T(x,y) \) y luego evaluarla en los distintos vectores que te dan.

Añado: Procura escribir los títulos en minúscula y las fórmulas matemáticas en \( \LaTeX \).

[ingmarov]

Hola victor...

Se ha adelantado pabloN, veré su método.

Spoiler

Hace un tiempo leí que toda transformación lineal puede ser representada mendiante una matriz "A", tal que \( {\bf A}\cdot \vec{u}=T(\vec{u}) \)


Entonces basado en eso yo generalmente planteo lo siguiente:

Como la transformación es de \( \mathbb{R}^2\rightarrow{\mathbb{R}^2} \)   La matriz de transformación debe ser una matriz de 2x2.

\( A=\begin{bmatrix}{a}&{b}\\{c}&{d}\end{bmatrix} \)

Entonces:

\( \begin{bmatrix}{a}&{b}\\{c}&{d}\end{bmatrix}\cdot \left[{\begin{array}{c}{2}\\{1}\end{array}\right]=\left[{\begin{array}{c}{5}\\{1}\end{array}\right] \)

Y

\( \begin{bmatrix}{a}&{b}\\{c}&{d}\end{bmatrix}\cdot \left[{\begin{array}{c}{1}\\{2}\end{array}\right]=\left[{\begin{array}{c}{4}\\{5}\end{array}\right] \)



De las últimas tienes dos sistemas de ecuaciones con los que puedes encontrar los valores "a", "b", "c" y "d" de la matriz de transformación.

[cerrar]

Spoiler

\( A=\begin{bmatrix}{2}&{1}\\{-1}&{3}\end{bmatrix} \)

[cerrar]