[Manolo_Salmer]

Hola, quiero demostrar que \( \left<{\mathbf{x},\mathbf{y}}\right>=3x_1y_1-x_2y_1-x_1y_2+2x_2y_2 \)  es un producto interno en \( \mathbb{R}^2 \). La única propiedad que me falta verificar es que el producto interno de dos vectores iguales es mayor que cero. Llego, después de desarrollar, a la siguiente expresión: \( 3x_1^2-2x_1x_2+2x_2^2 \) .

¿Cómo demuestro que dicha expresión es mayor a cero?
¡Gracias!

[mathtruco]

\( 3a^2-2ab+2b^2=2a^2+a^2-2ab+b^2+b^2=2a^2+(a-b)^2+b^2 \)

[Luis Fuentes]

Hola

Hola, quiero demostrar que \( \left<{\mathbf{x},\mathbf{y}}\right>=3x_1y_1-x_2y_1-x_1y_2+2x_2y_2 \)  es un producto interno en \( \mathbb{R}^2 \). La única propiedad que me falta verificar es que el producto interno de dos vectores iguales es mayor que cero. Llego, después de desarrollar, a la siguiente expresión: \( 3x_1^2-2x_1x_2+2x_2^2 \) .

¿Cómo demuestro que dicha expresión es mayor a cero?
¡Gracias!

No sé si has dado la teoría que sustenta lo siguiente: la forma standard de comprobar que eso es un producto interno es usar su matriz asociada:

\( F=\begin{pmatrix}{3}&{-1}\\{-1}&{2}\end{pmatrix} \)

y comprobar que es una matriz simétrica (lo es claramente) y definida positiva. Esto último puede verificarse diagonalizando la matriz por congruencia y viendo que los términos de la diagonal son positivos o por el criterio de Sylvester. En tu caso:

\( det(3)=3>0,\quad det(F)=6-1=5>0 \)

Saludos.